Intégration de Riemann/Intégrales généralisées

L'objectif de ce cours est d'apprendre à étudier la convergence (et éventuellement à faire le calcul) d'intégrales dont une borne est infinie comme :

\int _{1}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}}}

ou encore avec au moins une borne où la fonction n’est pas définie et a une limite infinie comme :

\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\tan x\,\mathrm {d} x

.

Définitions et premières propriétés

Définition

On suppose dans la définition suivante (et même dans toute la suite) que le seul « problème » est sur la borne $b$ (on procéderait de même en cas de problème sur la borne d’en bas) :

Définition : intégrale généralisée (ou impropre)

Soit $f$ une fonction définie et continue par morceaux sur un intervalle $\left]a,b\right[$ avec $a,b\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ .

On appelle intégrale généralisée de $f$ entre $a$ et $b$ la limite suivante :

$\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t=\lim _{x\to a,y\to b}\int _{x}^{y}f(t)\,\mathrm {d} t$ .

L'intégrale est dite convergente si cette limite existe et est finie et divergente dans le cas contraire.

Le symbole $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ n'a de sens que si cette limite (éventuellement infinie) existe.

Exemple

Soit $\lambda \in \mathbb {C}$ . Montrer que $\int _{0}^{+\infty }\operatorname {e} ^{-\lambda t}\;\mathrm {d} t$ converge si et seulement si $\operatorname {Re} (\lambda )>0$ , et calculer dans ce cas la valeur de cette intégrale.

Solution

Si $\lambda =0$ , $\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{-\lambda t}\;\mathrm {d} t=x\,{\xrightarrow[{x\to +\infty }]{}}+\infty$ .

Si $\lambda \neq 0$ , $\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{-\lambda t}\;\mathrm {d} t=\left[{\frac {\operatorname {e} ^{-\lambda t}}{-\lambda }}\right]_{0}^{x}={\frac {1-\operatorname {e} ^{-\lambda x}}{\lambda }}$ admet une limite finie (quand $x\to +\infty$ ) si et seulement si $\operatorname {Re} (\lambda )>0$ , et cette limite vaut alors ${\frac {1}{\lambda }}$ .

Remarque

Soit $c\in \left]a,b\right[$ . On a $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t=I\in \mathbb {R}$ si et seulement si les deux limites $\lim _{x\to a}\int _{x}^{c}f(t)\,\mathrm {d} t$ et $\lim _{,y\to b}\int _{c}^{y}f(t)\,\mathrm {d} t$ existent et si leur somme est égale à $I$ .
$\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t=I\in \mathbb {R}$ si et seulement si pour toutes fonctions $x,y$ telles que $\lim _{\varepsilon \to \ell }x(\varepsilon )=a$ et $\lim _{\varepsilon \to \ell }y(\varepsilon )=b$ (où $\ell$ est par exemple $+\infty$ ou $0^{+}$ ), on a $\lim _{\varepsilon \to \ell }\int _{x(\varepsilon )}^{y(\varepsilon )}f(t)\,\mathrm {d} t=I$ .
Il ne suffit donc pas, pour que $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t=I$ , qu'il existe deux fonctions $x,y$ telles que $\lim _{\varepsilon \to \ell }x(\varepsilon )=a$ et $\lim _{\varepsilon \to \ell }y(\varepsilon )=b$ et telles que $\lim _{\varepsilon \to \ell }\int _{x(\varepsilon )}^{y(\varepsilon )}f(t)\,\mathrm {d} t=I$ . Par exemple, pour toute fonction $f$ impaire, $\lim _{x\to +\infty }\int _{-x}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=0$ mais cela n'implique aucunement que $\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,\mathrm {d} t$ converge (penser à la fonction $f=\sin$ , dont la primitive $-\cos$ n'a pas de limite en l'infini, et pour laquelle même $\int _{-x}^{2x}f(t)\,\mathrm {d} t=\cos(-x)-\cos(2x)=\cos x-(2\cos ^{2}x-1)$ n'a pas de limite quand $x\to +\infty$ puisqu'elle vaut par exemple $0$ pour $x=2k\pi \;(k\in \mathbb {N} )$ et $-2$ pour $=(2k+1)\pi \;(k\in \mathbb {N} )$ ).

Premières propriétés

Il y a linéarité des intégrales généralisées convergentes.

Cela se démontre en utilisant les propriétés des intégrales et en passant à la limite.

Enfin, il y a les « fausses intégrales généralisées », celles où l’on règle le problème par prolongement par continuité de la fonction à intégrer :

Exemple

\int _{0}^{1}{\frac {\sin t}{t}}\,\mathrm {d} t

est convergente.

Il suffit de remarquer que le prolongement par continuité en $0$ de $x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}$ est :

x\mapsto {\begin{cases}{\frac {\sin x}{x}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\1,&{\mbox{si }}x=0.\end{cases}}

Calcul explicite

Comme dans le premier exemple ci-dessus, il est parfois possible, pour déterminer la nature d'une intégrale $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ impropre en $b$ , d'expliciter la fonction $x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ par les techniques habituelles de calcul d'intégrales et de primitives (intégration par parties, changement de variable, etc. : voir la leçon Intégration en mathématiques et ses exercices), afin de calculer ensuite sa limite quand $x$ tend vers $b$ .

Exemple de Riemann

Le premier exemple de référence à connaître est :

Soit $\alpha \in \mathbb {R}$ .

L'intégrale impropre
$\int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{t^{\alpha }}}\,\mathrm {d} t$
converge si et seulement si $\alpha >1$ .
L'intégrale (impropre en $0$ si $\alpha >0$ )
$\int _{0}^{1}{\frac {1}{s^{\alpha }}}\,\mathrm {d} s$
converge si et seulement si $\alpha <1$ .

Démonstration

Il suffit d'étudier la première intégrale, car la seconde s'en déduit par le changement de variable $t={\frac {1}{s}}$ et le remplacement de $\alpha$ par $2-\alpha$ .

Si $\alpha \neq 1$ , une primitive de $t^{-\alpha }$ est ${\frac {t^{1-\alpha }}{1-\alpha }}$ , qui a une limite finie en $+\infty$ si et seulement si $1-\alpha <0$ .

Quant à la primitive $\ln t$ de $t^{-1}$ , sa limite en $+\infty$ est infinie.

Autres exemples

Montrer que $\int _{\mathrm {e} }^{+\infty }{\frac {1}{t\ln ^{\beta }t}}\;\mathrm {d} t$ converge si et seulement si $\beta >1$ .

Solution

On effectue le changement de variable $s=\ln t$ donc $\mathrm {d} s={\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t$ :

\int _{a}^{b}{\frac {1}{t\ln ^{\beta }t}}\,\mathrm {d} t=\int _{\ln a}^{\ln b}{\frac {1}{s^{\beta }}}\,\mathrm {d} s

et nous sommes ramenés à l'exemple de Riemann (voir supra) donc

\int _{\mathrm {e} }^{+\infty }{\frac {1}{t\ln ^{\beta }t}}\,\mathrm {d} t={\begin{cases}+\infty &{\text{si }}\beta \leq 1\\{\frac {1}{\beta -1}}&{\text{si }}\beta >1.\end{cases}}

Montrer que $\forall k\in \mathbb {N} \quad \int _{0}^{1}\ln ^{k}x\,\mathrm {d} x=(-1)^{k}\,k!$ .

Solution

Voir les exercices sur : Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2#Exercice 18-5.

Convergence absolue et théorème de comparaison

Théorème de comparaison pour les intégrales généralisées

On considère dans tout ce paragraphe des fonctions à valeurs positives.

Lemme

Soit $f\geq 0$ continue par morceaux sur $\left[a,b\right[$ .

$\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ converge si (et seulement si) la fonction $F:x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ est majorée sur $[a,b[$ .

Démonstration

$F$ est croissante et, si $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ converge, $F$ est majorée. Le théorème de la limite monotone permet alors de conclure.

Voici maintenant le théorème central de ce paragraphe :

Théorème de comparaison (intégrales généralisées)

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues par morceaux sur $\left[a,b\right[$ telles que $0\leq f\leq g$ .

Si $\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$ converge, alors $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ converge aussi.
Si $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ diverge, alors $\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$ diverge aussi.

Démonstration

Le deuxième résultat est la contraposée du premier.

Soient $F:x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ et $G:x\mapsto \int _{a}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t$ .

Par comparaison d'intégrales, $f\leq g\Rightarrow F\leq G\;(\star )$ . Or si $\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$ converge, alors $G$ est majorée, ce qui implique d’après $(\star )$ que $F$ aussi et donc (grâce au lemme) que $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ converge.

Exemple

Montrer que $\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t^{2}}\;\mathrm {d} t$ converge.

Solution

Pour tout $t\geq 1$ , on a $t^{2}\geq t$ donc $0\leq \operatorname {e} ^{-t^{2}}\leq \operatorname {e} ^{-t}$ .

Or $\int _{0}^{+\infty }\operatorname {e} ^{-t}\;\mathrm {d} t$ converge. Donc $\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t^{2}}\;\mathrm {d} t$ converge aussi.

On rappelle que le « problème » est sur la borne d’en haut $b$ (c'est donc en $b$ que l’on effectue la comparaison de $f$ et $g$ ) :

Corollaire : intégration des relations de comparaison

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues par morceaux et positives sur $\left[a,b\right[$ .

On suppose que $f\,{\underset {b}{=}}\,O(g)$ $f\,{\underset {b}{=}}\,O(g)$ (ce qui est vrai en particulier si $f\,{\underset {b}{=}}\,o(g)$ $f\,{\underset {b}{=}}\,o(g)$ ).
- Si $\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$ converge, alors $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ converge aussi.
- Si $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ diverge, alors $\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$ diverge aussi.
Si $f\,{\underset {b}{\sim }}\,g$ , alors les intégrales $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ et $\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$ sont de même nature (soit toutes les deux convergentes, soit toutes les deux divergentes).

Pour un rappel sur les relations de comparaison, voyez Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison.

Démonstration

1/ Il suffit d’utiliser la positivité de $f$ et $g$ et la définition de $f\,{\underset {b}{=}}\,O(g)$ : $\exists c\in \left[a,b\right[\quad M\in \mathbb {R} \quad \forall x\in \left[c,b\right[\quad 0\leq f(x)\leq Mg(x)$ . Cette inégalité et le théorème de comparaison permettent de conclure.

2/ Si $f{\underset {b}{\sim }}g$ alors $f\,{\underset {b}{=}}\,O(g){\text{ et }}g\,{\underset {b}{=}}\,O(f)$ , ce qui permet d'appliquer le point précédent.

Exemples

Montrer que $\int _{2}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{4}-1}}}$ converge.

Solution

Puisque $t^{4}-1\;{\underset {+\infty }{\sim }}\;t^{4}$ , on a ${\frac {1}{\sqrt {t^{4}-1}}}\;{\underset {+\infty }{\sim }}\;{\frac {1}{t^{2}}}>0$ . L'exemple de Riemann (voir supra) permet alors de conclure.

Intégrales de Bertrand. Démontrer que :
- $\int _{\rm {e}}^{+\infty }{\frac {1}{t^{\alpha }\ln ^{\beta }t}}\,\mathrm {d} t$ converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1) ;
- $\int _{0}^{1/{\rm {e}}}{\frac {1}{s^{\gamma }|\ln s|^{\beta }}}\,\mathrm {d} s$ converge si et seulement si γ < 1 ou (γ = 1 et β > 1).

Solution

Comme dans l'exemple de Riemann (voir supra), il suffit d'étudier la première intégrale.

Pour α = 1, on a vu ci-dessus que
$\int _{\mathrm {e} }^{+\infty }{\frac {1}{t\ln ^{\beta }t}}\;\mathrm {d} t$ converge si et seulement si β > 1.
Pour α ≠ 1, les conclusions s'obtiennent par comparaison avec des intégrales convergentes ou divergentes du cas α = 1^[1] (les fonctions considérées sont bien positives) :
- si α > 1, alors ${\frac {1}{t^{\alpha }\ln ^{\beta }t}}=o\left({\frac {1}{t\ln ^{2}t}}\right)$ donc l'intégrale converge ;
- si α < 1, alors ${\frac {1}{t}}=o\left({\frac {1}{t^{\alpha }\ln ^{\beta }t}}\right)$ donc l'intégrale diverge.

Mais que faire pour des fonctions qui ne sont pas nécessairement positives ? Il faudra souvent tenter d’utiliser la convergence absolue :

Convergence absolue

Définition : convergence absolue

Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur $\left[a,b\right[$ .

L'intégrale $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ est dite absolument convergente si l'intégrale $\int _{a}^{b}|f(t)|\,\mathrm {d} t$ converge.

Théorème

Toute intégrale absolument convergente est convergente.

Démonstration

Soit $f$ continue par morceaux sur $\left[a,b\right[$ et soit $F:x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ .

On sait que

a\leq x\leq y<b\Rightarrow \left|F(y)-F(x)\right|\leq \int _{x}^{y}|f(t)|\,\mathrm {d} t

.

Le critère de Cauchy pour une fonction permet de conclure.

Exemple

Montrer que l'intégrale $\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-x}\sin x\;\mathrm {d} x$ est absolument convergente.

$\forall x\in \mathbb {R} \quad |\mathrm {e} ^{-x}\sin x|\leq \operatorname {e} ^{-x}$ et $\int _{0}^{+\infty }\operatorname {e} ^{-x}\;\mathrm {d} x$ converge. Le théorème de comparaison permet de conclure.

Un exemple classique d'intégrale semi-convergente, c'est-à-dire convergente mais non absolument, est l'intégrale de Dirichlet $\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x$ .

Règle d'Abel

Théorème

Soient $g$ localement Riemann-intégrable sur $\left[a,b\right[$ et $f$ décroissante et de limite nulle en $b$ . Si la fonction $x\mapsto \int _{a}^{x}g$ est bornée, alors l'intégrale $\int _{a}^{b}fg$ converge.

Démonstration

Notons $G$ la fonction $x\mapsto \int _{a}^{x}g$ , $M$ un majorant de $|G|$ et, pour tout $\varepsilon >0$ , $\left[c_{\varepsilon },b\right[$ un sous-intervalle de $\left[a,b\right[$ , sur lequel $f\leq {\frac {\varepsilon }{2M}}$ .

D'après la seconde formule de la moyenne,

$\forall [x,y]\subset \left[a,b\right[\quad \exists z\in [x,y]\quad \int _{x}^{y}fg=\left(G(z)-G(x)\right)f(x)$ .

donc

$\forall [x,y]\subset \left[c_{\varepsilon },b\right[\quad \left|\int _{x}^{y}fg\right|\leq 2Mf(x)\leq \varepsilon$

et le critère de Cauchy est satisfait.

Remarque: Si $f$ est absolument continue (en particulier si elle est de classe C¹), on peut aussi raisonner par intégration par parties puis convergence absolue : $\int _{a}^{x}fg=[fG]_{a}^{x}-\int _{a}^{x}f'G=f(x)G(x)-f(a)G(a)-\int _{a}^{x}f'G$ , $\lim _{b-}fG=0$ et $\int _{a}^{b}|f'G|\leq M\int _{a}^{b}|f'|=M\int _{a}^{b}-f'=M[-f]_{a}^{b}=Mf(a)<\infty .$

Exemples

Pour tout réel $\lambda >0$ , l'intégrale $\int _{1}^{+\infty }{\frac {\exp(\mathrm {i} t)}{t^{\lambda }}}\;\mathrm {d} t$ converge : soit par application du théorème ci-dessus, soit en intégrant par parties : $\int _{1}^{+\infty }{\frac {\exp(\mathrm {i} t)}{t^{\lambda }}}\;\mathrm {d} t=\left[{\frac {\exp(\mathrm {i} t)}{\mathrm {i} t^{\lambda }}}\right]_{1}^{+\infty }+\lambda \int _{1}^{+\infty }{\frac {\exp(\mathrm {i} t)}{\mathrm {i} t^{\lambda +1}}}\;\mathrm {d} t=\mathrm {i} \exp(\mathrm {i} )-\lambda \mathrm {i} \int _{1}^{+\infty }{\frac {\exp(\mathrm {i} t)}{t^{\lambda +1}}}\;\mathrm {d} t$ ,cette dernière intégrale étant absolument convergente.
Pour toute fonction continue $g$ d'intégrale $\int _{1}^{+\infty }g(t)\;\mathrm {d} t$ convergente, l'intégrale $\int _{1}^{+\infty }{\frac {g(t)}{t}}\;\mathrm {d} t$ converge : soit par application du théorème ci-dessus, soit en intégrant par parties, après avoir remarqué que toute primitive $G$ de $g$ est bornée (car continue et admettant une limite finie en $+\infty$ ) : $\int _{1}^{+\infty }{\frac {g(t)}{t}}\;\mathrm {d} t=\left[{\frac {G(t)}{t}}\right]_{1}^{+\infty }+\int _{1}^{+\infty }{\frac {G(t)}{t^{2}}}\;\mathrm {d} t=-G(1)+\int _{1}^{+\infty }{\frac {G(t)}{t^{2}}}\;\mathrm {d} t$ ,cette dernière intégrale étant absolument convergente.

Note

↑ Avec un peu plus d'efforts, on peut aussi, comme dans le cas α = 1, faire une comparaison avec des intégrales de type Riemann : voir par exemple B. Beck, I. Selon et C. Feuillet, Maths MP Tout en un, Hachette Éducation, 2006 [lire en ligne], p. 305 .

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[1] Avec un peu plus d'efforts, on peut aussi, comme dans le cas α = 1, faire une comparaison avec des intégrales de type Riemann : voir par exemple B. Beck, I. Selon et C. Feuillet, Maths MP Tout en un, Hachette Éducation, 2006 [lire en ligne], p. 305 .

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