Comparaison entre ln(x) et x en +∞

On a vu que la fonction ln est strictement croissante sur ${\displaystyle \left]0,+\infty \right[}$ et tend vers ${\displaystyle +\infty }$ quand ${\displaystyle x}$ tend vers ${\displaystyle +\infty }$, mais on va montrer qu’elle croît « lentement ».

Pour formaliser ceci, on étudie la limite :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}}$

qui est une forme indéterminée ${\displaystyle {\frac {+\infty }{+\infty }}}$.

Théorème

En ${\displaystyle +\infty }$, ln(x) devient négligeable devant x :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}=0}$.

Remarque

Plus généralement, le quotient de ${\displaystyle \ln x}$ par n’importe quel polynôme non constant, ou n’importe quelle puissance positive de ${\displaystyle x}$, tend vers ${\displaystyle 0}$ quand ${\displaystyle x}$ tend vers ${\displaystyle +\infty }$.

Voir les exercices sur : Croissances comparées, exercice 3.

Comparaison entre ln(x) et x en 0⁺

On en déduit, quand x tend vers 0 par valeurs supérieures (en ${\displaystyle 0^{+}}$), une autre limite :

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)}$

qui est aussi une forme indéterminée ${\displaystyle 0\times (-\infty )}$.

Théorème

ln(x) tend vers ${\displaystyle -\infty }$ en ${\displaystyle 0^{+}}$, mais pas très vite :

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)=0^{-}}$.

En effet, quand ${\displaystyle x\to 0^{+}}$, ${\displaystyle y:={\frac {1}{x}}\to +\infty }$ donc ${\displaystyle x\ln x=-{\frac {\ln y}{y}}\to 0^{-}}$.

Remarque

Plus généralement (et par le même changement de variable), le produit de ${\displaystyle \ln x}$ par n'importe quelle puissance positive de ${\displaystyle x}$ tend vers ${\displaystyle 0}$ quand ${\displaystyle x}$ tend vers ${\displaystyle 0}$.

Voir aussi

Fonction exponentielle/Croissances comparées