Pour tout entier naturel ${\displaystyle n}$ et tout réel ${\displaystyle x>0}$,

${\displaystyle {\sqrt[{n+1}]{\mathrm {e} ^{x}}}=\mathrm {e} ^{\frac {x}{n+1}}\geq 1+{\frac {x}{n+1}}>{\frac {x}{n+1}}}$ donc ${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}>\left({\frac {x}{n+1}}\right)^{n+1}=Cx^{n+1}}$ donc ${\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}>Cx}$.

Puisque ${\displaystyle C>0}$, ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }Cx=+\infty }$ donc par comparaison, ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}=+\infty }$.

(Pour le cas ${\displaystyle n=1}$, une autre méthode est proposée en exercice.)

Qand ${\displaystyle x\to -\infty }$, ${\displaystyle y:=-x\to +\infty }$ donc ${\displaystyle \left|x^{n}\mathrm {e} ^{x}\right|={\frac {y^{n}}{\mathrm {e} ^{y}}}=1\left/{\frac {\mathrm {e} ^{y}}{y^{n}}}\right.\to 1\left/+\infty \right.=0^{+}}$.