Exercice 1
Cet exercice propose une autre méthode que celle du cours pour démontrer que .
On définit sur la fonction .
1° Déterminer et .
2° Déterminer le sens de variation sur de .
3° En déduire le signe de sur .
4° En déduire de sens de variation de sur .
5° En déduire le signe de sur .
6° Démontrer que .
7° Conclure.
1° et .
2° Pour tout , , donc est croissante sur .
3° De plus, donc sur .
4° Donc est croissante sur .
5° De plus, donc sur .
6° Pour tout , donc donc .
7° donc par comparaison, .
Exercice 2
Déterminer les limites suivantes :
- (, ) (on pourra utiliser le résultat de l'exercice 3).
Soit . Quand :
- si ou alors
- si alors
- si et alors avec donc (On trouvera une généralisation de ce troisième cas dans Série numérique/Exercices/Nature de séries, Exercice 3, question 1.)
Quand , .
Quand , car .
Quand , car .
Exercice 3
On se propose de démontrer que pour tout réel , , de quatre façons : soit en s'appuyant sur le cas particulier démontré en cours, soit en s'appuyant seulement sur le sous-cas (redémontré dans l'exercice 1 ci-dessus), soit directement de deux façons. On s'intéresse principalement au cas car pour , la propriété est immédiate.
- Déduire la propriété pour tout réel du cas particulier .
- Déduire la propriété pour tout réel du sous-cas .
- Démontrer la propriété pour tout réel par la même méthode que celle vue en cours pour .
- Pour et , on pose .
- Montrer que est décroissante (strictement) sur .
- En déduire que admet en une limite finie.
- En appliquant cela à , en déduire que pour tout réel , .
- Pour tout , soit sa partie entière. Alors, et , donc quand .
- quand , et .
- Pour tous réels et , donc quand .
-
- Pour tout , on a dès que .
- est décroissante et minorée (par 0) sur donc admet en une limite finie .
- Quand , donc (comme la fonction est > 0) .