Série numérique/Exercices/Nature de séries

Exercice 1

Soient $a\in \left]0,+\infty \right[$ et $\alpha \in \mathbb {R}$ . Étudier la nature des séries de terme général :

$u_{n}:={\frac {a^{(-1)^{n}}}{n}}$ ;
$v_{n}:={\begin{cases}{\frac {1}{n^{\alpha }}}&{\text{ si }}n{\text{ est un carré parfait,}}\\{\frac {1}{n^{\beta }}}&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

Solution

Si $n$ est pair, $u_{n}={\tfrac {a}{n}}$ et si $n$ est impair, $u_{n}={\tfrac {1}{an}}$ . Donc pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$ , $u_{n}\geq {\tfrac {b}{n}}$ , où $b=\min(a,{\tfrac {1}{a}})>0$ . Or $\sum _{n\geq 1}{\frac {b}{n}}=b\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}=b\times +\infty =+\infty$ . On en déduit que $\sum _{n\geq 1}u_{n}=+\infty$ .
$\sum v_{n}$ converge si et seulement si les deux séries $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ convergent, où
$a_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{n^{\alpha }}}&{\text{ si }}n{\text{ est un carré parfait,}}\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}\quad {\text{et}}\quad b_{n}={\begin{cases}0&{\text{ si }}n{\text{ est un carré parfait,}}\\{\frac {1}{n^{\beta }}}&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

$\sum a_{n}=\sum {\frac {1}{k^{2\alpha }}}$ converge si et seulement si $\alpha >{\frac {1}{2}}$ .

$\sum b_{n}=\sum _{k}\sum _{n=k^{2}+1}^{(k+1)^{2}-1}{\frac {1}{n^{\beta }}}=\sum _{k}\sum _{j=1}^{2k}{\frac {1}{(k^{2}+j)^{\beta }}}$ est comprise entre $\sum _{k}{\frac {2k}{(k^{2}+2k)^{\beta }}}$ et $\sum _{k}{\frac {2k}{(k^{2}+1)^{\beta }}}$ donc est de même nature que $\sum _{k}{\frac {1}{k^{2\beta -1}}}$ , c'est-à-dire convergente si et seulement si $\beta >1$ .

Exercice 2

Étudier la nature des séries de terme général :

$u_{n}:=n\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-{\frac {2n}{2n+1}}$ ;
$v_{n}:=n\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-\cos {\frac {1}{\sqrt {n}}}$ .

Solution

$u_{n}=n\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{3}}}\right)\right)-\left(1+{\frac {1}{2n}}\right)^{-1}=O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$ donc la série est absolument convergente (en fait, $u_{n}\sim {\frac {1}{12n^{2}}}$ mais cette précision est inutile). On peut remarquer que $u_{n}\geq 0$ (en étudiant les variations de la fonction $x\mapsto \ln(1+x)-{\frac {x}{1+x/2}}$ ).
$v_{n}=n\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{3}}}\right)\right)-\left(1-{\frac {1}{2n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\right)=O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$ donc la série est absolument convergente (en fait, $v_{n}\sim {\frac {7}{24n^{2}}}$ mais cette précision est inutile).

Exercice 3

Soient $a\in \left]0,+\infty \right[$ et $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ . Étudier la nature des séries de terme général :

$x_{n}:={\frac {a^{t_{n}}}{n^{\alpha }}}$ où $(t_{n})$ est une suite réelle telle que $\lim _{n\to +\infty }{\frac {t_{n}}{\ln n}}=+\infty$ ;
$y_{n}:={\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }(n!)}}$ (on pourra utiliser l'équivalent ln(n!) ~ n ln(n), ou se contenter de l'encadrement $n^{n/2}\leq n!\leq n^{n}$ ) ;
$z_{n}:=\left({\frac {an+\alpha }{n+\beta }}\right)^{n}$ ;
$u_{n}:=\cos(n\pi )\sin {\frac {\ln n}{n{\sqrt {n}}}}$ ;
$v_{n}:={\frac {2^{\sqrt {n}}}{2^{\sqrt {n}}+3^{n}}}$ ;
$w_{n}:=\left(n\sin {\frac {1}{n}}\right)^{n^{\alpha }}$ ;

Solution

$s_{n}:={\frac {t_{n}}{\ln n}}\to +\infty$ $s_{n}:={\frac {t_{n}}{\ln n}}\to +\infty$ et $x_{n}=n^{s_{n}\ln a-\alpha }$ $x_{n}=n^{s_{n}\ln a-\alpha }$ .
- Si $a>1$ , la série est grossièrement divergente.
- Si $a=1$ , c'est la série de Riemann, qui converge si et seulement si $\alpha >1$ .
- Si $a<1$ , pour $n$ assez grand, $s_{n}\ln a-\alpha <-2$ donc $x_{n}<{\frac {1}{n^{2}}}$ et la série converge.
Remarque : la règle de d'Alembert s'applique si par exemple $t_{n}=n$ , mais pas si $t_{n+1}-t_{n}\to 0$ (comme pour $t_{n}={\sqrt {n}}$ ou $t_{n}=\ln ^{2}n$ ) et dans ce cas, même Cauchy ne conclut pas (car $t_{n}=o(n)$ ).
On montre facilement que $n!\geq n^{n/2}$ , minoration grossière mais largement suffisante ici, en regroupant les termes deux par deux ( $n!=(1.n)(2(n-1))(3(n-2))\dots$ ). En effet, si $1\leq k<{\frac {n+1}{2}}$ alors $k(n+1-k)\geq n$ et si $k={\frac {n+1}{2}}$ alors $k\geq n^{1/2}$ . On pourrait montrer de même que n! ≤ ((n + 1)/2)ⁿ (en majorant k(n + 1 – k) par ((n + 1)/2)²), mais la majoration immédiate n! ≤ nⁿ nous suffira.
On en déduit que ${\frac {n}{2}}\ln n\leq \ln(n!)\leq n\ln n$ . Par conséquent, $\sum y_{n}$ est de même nature que la série de Bertrand $\sum {\frac {1}{n^{\alpha +\beta }\ln ^{\beta }n}}$ : elle converge si et seulement si $\alpha +\beta >1$ ou $1-\alpha =\beta >1$ .
Soit un entier $N>\max \left(-{\frac {\alpha }{a}},-\beta \right)$ . Pour $n\geq N$ , $z_{n}$ est bien défini et strictement positif. $z_{n}=a^{n}\left({\frac {1+{\frac {\alpha }{an}}}{1+{\frac {\beta }{n}}}}\right)^{n}\sim a^{n}\exp \left({\frac {\alpha }{a}}-\beta \right)$ donc $\sum _{n\geq N}z_{n}$ est de même nature que la série géométrique $\sum a^{n}$ : elle converge si et seulement si $a<1$ . La règle de Cauchy (ou celle de d'Alembert) ne permettrait pas de conclure lorsque $a=1$ .
En remarquant que $\cos(n\pi )=(-1)^{n}$ , on pouvait être tenté d'appliquer le critère de convergence pour les séries alternées (ce qui nécessiterait de démontrer que $\sin {\frac {\ln n}{n^{3/2}}}$ est décroissante à partir d'un certain rang), mais c'est complètement inutile : la série est absolument convergente, car dominée par une série de Riemann convergente : $|u_{n}|\leq \left|\sin {\frac {\ln n}{n{\sqrt {n}}}}\right|\sim {\frac {\ln n}{n^{1+1/2}}}=O\left({\frac {n^{1/4}}{n^{1+1/2}}}\right)$ .
Cette série est à termes positifs et (géométriquement) convergente, car $v_{n}\leq {\frac {2^{n}}{0+3^{n}}}$ et ${\frac {2}{3}}<1$ .
(Pour tout $n\geq 1$ $n\geq 1$ , $\sin {\frac {1}{n}}>0$ $\sin {\frac {1}{n}}>0$ car $0<{\frac {1}{n}}\leq 1<\pi$ $0<{\frac {1}{n}}\leq 1<\pi$ ).
$w_{n}=\exp \left(n^{\alpha }\ln \left(n\sin {\frac {1}{n}}\right)\right)>0$ .

$n\sin {\frac {1}{n}}=n\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{6n^{3}}}+o\left({\frac {1}{n^{3}}}\right)\right)=1-{\frac {1}{6n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$ donc

$n^{\alpha }\ln \left(n\sin {\frac {1}{n}}\right)\sim -{\frac {n^{\alpha }}{6n^{2}}}=-{\frac {n^{\alpha -2}}{6}}$ .
- Si $\alpha \leq 2$ , $-{\frac {n^{\alpha -2}}{6}}\geq -{\frac {1}{6}}$ donc $\sum w_{n}$ diverge grossièrement.
- Si $\alpha >2$ , $\ln n=o(n^{\alpha -2})$ . Par conséquent, pour $n$ assez grand, $n^{\alpha }\ln \left(n\sin {\frac {1}{n}}\right)<-2\ln n$ donc $w_{n}<\mathrm {e} ^{-2\ln n}={\frac {1}{n^{2}}}$ et la série converge.

Exercice 4

Soit $(a_{n})$ une suite réelle positive décroissante. On pose $S=\sum _{n\geq 1}a_{n}$ et $T=\sum _{k\geq 0}2^{k}a_{2^{k}}$ . Montrer que $S\leq T\leq 2S$ (ce qui prouvera que $S<+\infty$ si et seulement si $T<+\infty$ ).

Solution

Le deux séries étant à termes positifs, les calculs se font directement sur $S,T\in \left[0,+\infty \right]$ , sans avoir à considérer les sommes partielles. En groupant les termes par « paquets de taille $2^{k}$ » (comme dans la preuve par Oresme de la divergence de la série harmonique), on a d'une part

S=a_{1}+(a_{2}+a_{3})+(a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7})+\ldots \leq a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+\ldots =T

et d'autre part

2S=a_{1}+(a_{1}+a_{2})+(a_{2}+a_{3}+a_{3}+a_{4})+\ldots \geq a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+\ldots =T

.

Exercice 5

Nature de la série de terme général $u_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(n+k)^{p}}}$ , selon les valeurs du réel $p$ ?

Solution

$u_{n}\geq 0$ donc on peut directement calculer $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ , qui sera un réel si la série converge et qui sera $+\infty$ sinon.

$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}=\sum _{n\geq 1,1\leq k\leq n}{\frac {1}{(n+k)^{p}}}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)^{p}}}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{m=2k}^{\infty }{\frac {1}{m^{p}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {E(m/2)}{m^{p}}}$ .

La série est donc convergente si et seulement si $p-1>1$ , c.-à-d. $p>2$ .

Exercice 6

Soit $\sum u_{n}$ une série à termes strictement positifs. Montrer que :

(Règle de Kummer)
1. $\sum u_{n}$ converge si et seulement s'il existe une suite positive $\left(k_{n}\right)$ et une constante $\delta >0$ telles qu'à partir d'un certain rang, $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}\geq \delta$ ;
2. $\sum u_{n}$ diverge si et seulement s'il existe une suite $\left(k_{n}\right)$ strictement positive telle que $\sum 1/k_{n}=+\infty$ et telle qu'à partir d'un certain rang, $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}\leq 0$ ;
(Règle de Raabe-Duhamel)
1. s'il existe $b>1$ tel que (à partir d'un certain rang) ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leq 1-{\frac {b}{n}}$ , alors $\sum u_{n}$ converge ;
2. si (à partir d'un certain rang) ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\geq 1-{\frac {1}{n}}$ , alors $\sum u_{n}$ diverge.
(Règle de Bertrand)
1. s'il existe $b>1$ tel que (à partir d'un certain rang) ${\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}\geq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {b}{n\ln n}}$ , alors $\sum u_{n}$ converge ;
2. si (à partir d'un certain rang) ${\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}\leq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n\ln n}}$ , alors $\sum u_{n}$ diverge.

Solution

1. Si $k_{n}\geq 0$ et (à partir d'un certain rang $N$ ) $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}\geq \delta >0$ alors $\delta u_{n+1}\leq k_{n}u_{n}-k_{n+1}u_{n+1}$ donc $\sum _{m>N}u_{m}\leq {\frac {k_{N}u_{N}}{\delta }}<+\infty$ .
  Réciproquement, si $\sum u_{n}$ converge alors, en posant $k_{n}:={\frac {1}{u_{n}}}\sum _{k>n}u_{k}$ , on a $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}=1$ .
2. Si $k_{n}>0$ et (à partir d'un certain rang) $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}\leq 0$ alors ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\geq {\frac {1/k_{n+1}}{1/k_{n}}}$ , donc (exercice 5-1) si de plus $\sum 1/k_{n}=+\infty$ alors $\sum u_{n}$ diverge.
  Réciproquement, si $\sum u_{n}$ diverge alors, en posant $k_{n}:=1/u_{n}$ , on a $\sum 1/k_{n}=+\infty$ et $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}=0$ .
1. Si ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leq 1-{\frac {b}{n}}$ alors, en posant $k_{n}:=n-b$ , on a $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}\geq b-1$ , et l'on conclut grâce au premier point de la règle de Kummer.
2. Si ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\geq 1-{\frac {1}{n}}$ alors, en posant $k_{n}:=n-1$ , on a $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}\leq 0$ , et l'on conclut grâce au second point de la règle de Kummer.
En posant $k_{n}:=n\ln n$ $k_{n}:=n\ln n$ , on a :
1. si ${\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}\geq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {b}{n\ln n}}$ alors $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}\geq b-(n+1)\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\geq \delta$ à partir d'un certain rang si $\delta <b-1$ , et l'on conclut grâce au premier point de la règle de Kummer ;
2. Si ${\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}\leq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n\ln n}}$ alors $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}\leq 1-(n+1)\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\leq 0$ , et l'on conclut grâce au second point de la règle de Kummer.

Exercice 7

Soit $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite réelle définie par ses deux premiers termes et par une récurrence linéaire d'ordre 2 :

\forall n\in \mathbb {N} \quad x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_{n}

. On suppose

x_{0}\geq 0

,

x_{1}>0

,

a\geq 1

et

b>0

.

Démontrer, pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$ , que $0<x_{n}\leq x_{n+1}$ puis $x_{n+2}\geq (a+b)x_{n}$ .
En déduire que $\sum {\frac {1}{x_{n}}}$ converge.

Solution

Par récurrence, la suite est à valeurs $\geq 0$ , donc $\forall n\in \mathbb {N} \quad x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_{n}\geq ax_{n+1}\geq x_{n+1}$ , si bien qu'à partir de l'indice 1, la suite est croissante et donc $>0$ .
On en déduit immédiatement que $x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_{n}\geq (a+b)x_{n}$ .
$\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{x_{n}}}=\sum _{k\geq 0}u_{k}$ avec $u_{k}={\frac {1}{x_{2k+1}}}+{\frac {1}{x_{2k+2}}}$ . D'après la question précédente, $u_{k+1}\leq {\frac {u_{k}}{a+b}}$ or par hypothèse, $a+b>1$ . La série est donc (géométriquement) convergente.

Exercice 8

Soit $(a_{n})$ une suite complexe. On suppose qu'il existe une suite réelle positive $(b_{n})$ telle que

\forall n\in \mathbb {N} \quad |a_{n}|\leq b_{n}-b_{n+1}

.

Montrer qu'alors, $\sum a_{n}$ est absolument convergente.

Solution

\forall N\in \mathbb {N} \quad \sum _{n=0}^{N}|a_{n}|\leq \sum _{n=0}^{N}(b_{n}-b_{n+1})=b_{0}-b_{N+1}\leq b_{0}

.

Exercice 9

Soit $\sum x_{n}$ une série absolument convergente. Montrer que pour tout réel $\lambda$ , $\sum {\frac {x_{n}}{1+\lambda x_{n}}}$ est absolument convergente.

Solution

Puisque $\sum x_{n}$ converge, $x_{n}\to 0$ donc $\exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad |\lambda x_{n}|\leq {\frac {1}{2}}$ , d'où $\left|{\frac {x_{n}}{1+\lambda x_{n}}}\right|\leq 2\left|x_{n}\right|$ .

Exercice 10

Soit $\sum u_{n}$ une série convergente à termes positifs. Montrer que pour tout réel $\alpha >1$ , $\sum u_{n}^{\alpha }$ converge.

Solution

$u_{n}\to 0$ donc $u_{n}^{\alpha }=o(u_{n})$ .

Exercice 11

Soient $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ deux séries convergentes à termes positifs. Montrer que $\sum {\sqrt {u_{n}v_{n}}}$ converge.

Solution

D'après l'inégalité arithmético-géométrique , ${\sqrt {u_{n}v_{n}}}\leq {\frac {u_{n}+v_{n}}{2}}$ . Ou plus savamment : d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans l'espace ℓ² des suites de carré sommable, $\sum {\sqrt {u_{n}v_{n}}}\leq {\sqrt {\sum u_{n}\sum v_{n}}}$ .

Soit maintenant $v_{n}={\frac {1}{n}}$ . Trouver une série $\sum u_{n}$ convergente à termes positifs telle que $\sum {\sqrt {u_{n}v_{n}}}$ diverge.

Solution

D'après le critère pour les séries de Bertrand, $u_{n}={\frac {1}{n\ln ^{\beta }n}}$ convient si $1<\beta \leq 2$ .

Exercice 12

Soit $(a_{n})$ une suite de réels. Notons $a_{n}^{+}=\max(a_{n},0)$ et $a_{n}^{-}=-\min(a_{n},0)$ . Montrer que :

$\sum a_{n}$ est absolument convergente si et seulement si $\sum a_{n}^{+}$ et $\sum a_{n}^{-}$ convergent ;
si $\sum a_{n}$ est seulement semi-convergente, alors $\sum a_{n}^{+}$ et $\sum a_{n}^{-}$ divergent.

Solution

$|a_{n}|=a_{n}^{+}+a_{n}^{-}$ et $0\leq a_{n}^{+}\leq |a_{n}|$ , $0\leq a_{n}^{-}\leq |a_{n}|$ .
$|a_{n}|=2a_{n}^{+}-a_{n}=2a_{n}^{-}+a_{n}$ .

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