Fonction dérivée/Exercices/Étude de fonctions polynômes du second degré

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f(x)=x^{2}-2x-3$

1. Déterminer la fonction dérivée $f'$ .

2. Compléter en justifiant le tableau de signes de $f'$ et le tableau de variations de $f$ .

x

-\infty

+\infty

Signe de

f'(x)

Variations de

f

3. Calculer la valeur du minimum de $f$ sur $\mathbb {R}$ .

Solution

1. Déterminer la fonction dérivée $f'$ .

La fonction ƒ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2x-2$

2. Compléter en justifiant le tableau de signes de $f'$ et le tableau de variations de $f$ .

Pour tout $x\in ]-\infty ;1[,~f'(x)<0$ donc ƒ est strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty ;1[$
Pour tout $x\in ]1;+\infty [,~f'(x)>0$ donc ƒ est strictement croissante sur l'intervalle $]1;+\infty [$

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&1&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~f'(x)&&-&0&+&\\\hline {\textrm {Variations~de}}~f&&\searrow &&\nearrow &\\\end{array}}$

3. Calculer la valeur du minimum de $f$ sur $\mathbb {R}$

D'après le tableau de variations, le minimum de ƒ est atteint au point d'abscisse 1 et vaut $f(1)=-4$

Exercice 2

Donner les tableaux de variations des fonctions suivantes sur $\mathbb {R}$ .

$f_{1}:x\mapsto 2x^{2}+3x+1$
$f_{2}:x\mapsto x^{2}-2x+2$
$f_{3}:x\mapsto -x^{2}+3$
$f_{4}:x\mapsto -3x^{2}-x$

Solution

$f_{1}:x\mapsto 2x^{2}+3x+1$

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&\displaystyle {-{\frac {3}{4}}}&&+\infty \\&&&&&\\\hline {\textrm {Signe~de}}~f_{1}'(x)&&-&0&+&\\\hline &+\infty &&&&+\infty \\{\textrm {Variations~de}}~f_{1}&&\searrow &&\nearrow &\\&&&\displaystyle {-{\frac {1}{8}}}&&\\\end{array}}$

$f_{2}:x\mapsto x^{2}-2x+2$

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&1&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~f_{2}'(x)&&-&0&+&\\\hline &+\infty &&&&+\infty \\{\textrm {Variations~de}}~f_{2}&&\searrow &&\nearrow &\\&&&1&&\\\end{array}}$

$f_{3}:x\mapsto -x^{2}+3$

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&0&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~f_{3}'(x)&&+&0&-&\\\hline &&&3&&\\{\textrm {Variations~de}}~f_{3}&&\nearrow &&\searrow &\\&-\infty &&&&-\infty \\\end{array}}$

$f_{4}:x\mapsto -3x^{2}-x$

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&-\displaystyle {\frac {1}{6}}&&+\infty \\&&&&&\\\hline {\textrm {Signe~de}}~f_{4}'(x)&&+&0&-&\\\hline &&&\displaystyle {\frac {1}{4}}&&\\{\textrm {Variations~de}}~f_{4}&&\nearrow &&\searrow &\\&-\infty &&&&-\infty \\\end{array}}$

Exercice 3

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par $f(x)=x^{2}-2x+3$

1. a) Déterminer la fonction dérivée $f'$ .

b) Étudier le signe de

f'(x)

.

c) Étudier les variations de

f

(on précisera le minimum de

f

).

2. a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 2.

b) Quelle erreur absolue commet-on si on utilise cette approximation affine de

f

pour

x=1,8

?

c) Quelle est l'erreur relative correspondante ? (en pourcentages)

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

Exercice 4

Soit $S$ un réel. Déterminer la valeur maximum de la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par $f(x)=x(S-x)$ .
Soit $P$ un réel strictement positif. Quelle est la valeur minimum de la fonction $g$ définie sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ par $g(x)=x+{\frac {P}{x}}$ ?
Déduire de la question 1 que pour tous réels $x$ et $y$ ,
$xy\leq {\frac {(x+y)^{2}}{4}}$ .
Retrouver ce résultat à l'aide d'une identité remarquable
Déduire de la question 3 ou 4 l'inégalité arithmético-géométrique : pour tous réels positifs $x$ et $y$ ,
${\sqrt {xy}}\leq {\frac {x+y}{2}}$ .

Solution

$f'(x)=S-2x$ donc le maximum est $f\left({\tfrac {S}{2}}\right)={\frac {S^{2}}{4}}$ .
D'après la question précédente, le minimum est atteint pour $x={\frac {P}{x}}$ . Il vaut donc $2{\sqrt {P}}$ . On peut d'ailleurs le retrouver par une étude directe ( $g'(x)=1-{\frac {P}{x^{2}}}$ ).
D'après la question 1, pour tous réels $x$ et $S$ on a $x(S-x)\leq {\frac {S^{2}}{4}}$ . Pour tous réels $x$ et $y$ , en posant $S=x+y$ , on en déduit : $xy\leq {\frac {(x+y)^{2}}{4}}$ .
$(x+y)^{2}-4xy=(x-y)^{2}\geq 0$ donc $(x+y)^{2}\geq 4xy$ , c'est-à-dire ${\frac {(x+y)^{2}}{4}}\geq xy$ .
On applique la fonction racine carrée (croissante sur $\mathbb {R} _{+}$ ) de part et d'autre de l'inégalité précédente.

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