Espace préhilbertien réel/Formes bilinéaires symétriques

Dans tout ce cours, $E$ est un $\mathbb {R}$ -espace vectoriel. On notera ${\mathcal {L}}_{2}(E)$ l’ensemble des formes bilinéaires sur $E$ .

Formes bilinéaires symétriques

Ensemble des formes bilinéaires

Définition

Soit $f\in {\mathcal {L}}_{2}(E)$ une forme bilinéaire sur $E$ . On dit que $f$ est :

symétrique si $\forall (x,y)\in E^{2}\quad f(x,y)=f(y,x)$ ;
antisymétrique si $\forall (x,y)\in E^{2}\quad f(x,y)=-f(y,x)$ .

On note :

${\mathcal {S}}_{2}(E)$ l’ensemble des formes bilinéaires symétriques sur $E$ .
${\mathcal {A}}_{2}(E)$ l’ensemble des formes bilinéaires antisymétriques sur $E$ .

Structure de S₂(E)

${\mathcal {S}}_{2}(E)$ et ${\mathcal {A}}_{2}(E)$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans ${\mathcal {L}}_{2}(E)$ .

Démonstration

L'application $S:{\mathcal {L}}_{2}(E)\to {\mathcal {L}}_{2}(E)$ définie par $S(f)(x,y)=f(y,x)$ est une symétrie vectorielle (c'est-à-dire que $S$ est linéaire et $S\circ S=\mathrm {id} _{{\mathcal {L}}_{2}(E)}$ ) et par définition, $\ker \left(S-\mathrm {id} _{{\mathcal {L}}_{2}(E)}\right)={\mathcal {S}}_{2}(E)$ et $\ker \left(S+\mathrm {id} _{{\mathcal {L}}_{2}(E)}\right)={\mathcal {A}}_{2}(E).$

Positivité

Définition

Soit $f\in {\mathcal {S}}_{2}(E)$ . On dit que $f$ est :

positive si $\forall x\in E\quad f(x,x)\geq 0$ ;
définie positive si $\forall x\in E\setminus \{0\}\quad f(x,x)>0$ .

On note :

${\mathcal {S}}_{2}^{+}(E)$ l’ensemble des formes bilinéaires symétriques positives sur $E$ .
${\mathcal {S}}_{2}^{++}(E)$ l’ensemble des formes bilinéaires symétriques définies positives sur $E$ .

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soit

f\in {\mathcal {S}}_{2}^{+}(E)

.

$\forall (x,y)\in E^{2},~f(x,y)^{2}\leq f(x,x)f(y,y)$

Si, de plus, $f$ est définie positive, on a égalité si et seulement si $(x,y)$ est une famille liée.

Démonstration

Pour tout $\lambda \in \mathbb {R}$ , $f(x+\lambda y,x+\lambda y)=f(y,y)\lambda ^{2}+2f(x,y)\lambda +f(x,x)\geq 0$ .

Si $f(y,y)=0$ , alors $f(x,y)=0$ et l'inégalité est triviale. Si $f(y,y)\neq 0$ le discriminant réduit $\Delta ^{'}=f(x,y)^{2}-f(x,x)f(y,y)$ doit être négatif ou nul.

Formes quadratiques

Ensemble des formes quadratiques

Définition

Soit $f\in {\mathcal {S}}_{2}(E)$ .

On définit la forme quadratique $Q$ associée à $f$ par $\forall x\in E\quad Q(x)=f(x,x)$

On note ${\mathcal {Q}}(E)$ l’ensemble des formes quadratiques sur $E$ .

Remarques

${\mathcal {Q}}(E)$ est un $\mathbb {R}$ -espace vectoriel.

Toute forme quadratique $Q$ sur E est homogène de degré 2, c'est-à-dire que
$\forall \lambda \in \mathbb {R} \quad \forall x\in E\quad Q(\lambda x)=\lambda ^{2}Q(x)$ .

On peut retrouver $f$ à partir de $Q$ :

Formules de polarisation

Soient $f$ une forme bilinéaire symétrique et $Q$ la forme quadratique associée. Pour tout $(x,y)\in E^{2}$ , on a :

f(x,y)={\frac {Q(x+y)-Q(x)-Q(y)}{2}}={\frac {Q(x+y)-Q(x-y)}{4}}

.

Corollaire

Une application $Q:E\to \mathbb {R}$ est une forme quadratique si et seulement si :

$\forall x\in E\quad Q(2x)=4Q(x)$ ;
l'application symétrique $h:E\times E\to \mathbb {R}$ définie par
$h(x,y)=Q(x+y)-Q(x)-Q(y)$
est bilinéaire.

Voir les exercices sur : Formes quadratiques.

Positivité

Définition

On dit qu'une forme quadratique est positive (respectivement : définie positive) si sa forme bilinéaire symétrique associée l'est.

Inégalité de Minkowski (inégalité triangulaire)

Soit

Q

une forme quadratique positive.

\forall (x,y)\in E^{2}\quad {\sqrt {Q(x+y)}}\leq {\sqrt {Q(x)}}+{\sqrt {Q(y)}}

.

Si, de plus, $Q$ est définie positive, on a égalité si et seulement si $(x,y)$ est une famille positivement liée, c'est-à-dire si $y=0$ ou s'il existe un réel positif $\alpha$ tel que $x=\alpha y$ .

Démonstration

Soient $f\in {\mathcal {S}}_{2}^{+}(E)$ associée à $Q$ , et $(x,y)\in E^{2}$ .

D’après Cauchy-Schwarz, $|f(x,y)|\leq {\sqrt {Q(x)}}{\sqrt {Q(y)}}$ . Par conséquent :

$Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+2f(x,y)\leq Q(x)+Q(y)+2|f(x,y)|\leq Q(x)+Q(y)+2{\sqrt {Q(x)}}{\sqrt {Q(y)}}=\left({\sqrt {Q(x)}}+{\sqrt {Q(y)}}\right)^{2}$ .

On a donc bien ${\sqrt {Q(x+y)}}\leq {\sqrt {Q(x)}}+{\sqrt {Q(y)}}$ .

Si, de plus, $Q$ est définie positive, on a égalité si et seulement si $f(x,y)=|f(x,y)|={\sqrt {Q(x)}}{\sqrt {Q(y)}}$ c'est-à-dire si $f(x,y)\geq 0$ et $(x,y)$ est liée, ce qui équivaut à : $(x,y)$ est positivement liée.

Orthogonal d'une partie

Toutes les notions de cette section seront implicitement relatives à une forme bilinéaire symétrique fixée $f$ sur $E$ .

Définitions

Deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ sont dits orthogonaux lorsque $f(x,y)=0$ . On note alors $x\perp y$ .
Un vecteur $x$ est dit orthogonal à une partie $A$ (de $E$ ) lorsque $x\perp y$ pour tout $y\in A$ . On note alors $x\perp A$ .
L'orthogonal d'une partie $A$ est la partie $A^{\bot }:=\{x\in E\mid x\perp A\}$ .
La partie $E^{\bot }$ est appelée le noyau de $f$ .
On dit que $f$ est non dégénérée si son noyau n'est pas réduit au vecteur nul.

Propriétés de l'orthogonal d'une partie

Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$ .

$A^{\bot }$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .
$A\subset B\Rightarrow B^{\bot }\subset A^{\bot }$ .
$A^{\bot }=(\operatorname {Vect} (A))^{\bot }$ .

Démonstration

$A^{\bot }=\cap _{a\in A}\{a\}^{\bot }$ et $\{a\}^{\bot }=\ker f(a,\cdot )$ .
Soit $x\in B^{\bot }$ . On a $x\perp B$ . En particulier, comme $A\subset B,~x\perp A$ , donc $x\in A^{\bot }$ .
D'après le point précédent, on a déjà $(\operatorname {Vect} (A))^{\bot }\subset A^{\bot }$ .
Réciproquement, si $x\in A^{\bot }$ , c.-à-d. si $A\subset \ker f(x,\cdot )$ , alors $\operatorname {Vect} (A)\subset \ker f(x,\cdot )$ , c.-à-d. $x\in (\operatorname {Vect} (A))^{\bot }$ .

Propriétés de l'orthogonal d'un sous-espace

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ .

$(F+G)^{\bot }=F^{\bot }\cap G^{\bot }$ .
$F^{\bot }+G^{\bot }\subset (F\cap G)^{\bot }$ .
$F\subset (F^{\bot })^{\bot }$ .

Démonstration

$(F+G)^{\bot }=(\operatorname {Vect} (F\cup G))^{\bot }=(F\cup G)^{\bot }=F^{\bot }\cap G^{\bot }$ .
$F\cap G\subset F$ donc $F^{\bot }\subset (F\cap G)^{\bot }$ . De même, $G^{\bot }\subset (F\cap G)^{\bot }$ . Donc $F^{\bot }+G^{\bot }\subset (F\cap G)^{\bot }$ .
$F\perp F^{\bot }$ .

Théorème : relation entre les dimensions de

F

et

F^{\bot }

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ . On suppose ici que $E$ est de dimension finie. Alors,

\dim(F)+\dim(F^{\bot })=\dim(E)+\dim(F\cap E^{\bot })

.

Démonstration

Appliquons le théorème du rang à l'application $\Phi :F\to E^{*},\,x\mapsto f(x,\cdot )$ :

\dim F=\dim \ker \Phi +\dim \operatorname {im} \Phi =\dim(F\cap E^{\bot })+\dim E-\dim(\operatorname {im} \Phi )^{\circ }=\dim(F\cap E^{\bot })+\dim E-\dim(F^{\bot })

.

→ Voir le cours sur les espaces euclidiens pour l’étude des formes bilinéaires symétriques et quadratiques en dimension finie, en particulier leur écriture matricielle.

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