Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie n.
Matrice d'une forme bilinéaire symétrique
Soient :
- Q la forme quadratique associée à ƒ
- une base de E
- et deux vecteurs de E
On a :
![](../../I/Emblem-equal-defined.svg.png.webp)
On pose la matrice de la forme bilinéaire symétrique f dans la base e.
Comme ƒ est symétrique, F est une matrice symétrique.
![](../../I/Emblem-important-blue.svg.png.webp)
Si on pose et , alors
Matrice de la forme quadratique associée
Si on s'intéresse au calcul de Q, on obtient :
![](../../I/Emblem-important-blue.svg.png.webp)
Si on pose , alors .
On dit par extension que F est aussi la matrice de la forme quadratique Q dans e.
![]() |
Il est très important de savoir passer de la matrice d'une forme quadratique à son expression analytique. |
![](../../I/Tango_atom.svg.png.webp)
- L'expression analytique est de la forme
- On place sur la diagonale (dans l’ordre !) les termes en λi
- On place pour i ≠ j, à la ligne i et colonne j le coefficient μij, qui est la moitié du coefficient numérique lu dans l'expression. C'est le coefficient qui correspond au produit de la coordonnée xi par xj.
- On obtient alors la matrice, qui est de la forme :
![](../../I/Oxygen480-apps-preferences-desktop-icons.svg.png.webp)
On se place dans muni de sa base canonique e. Tout vecteur V de E admet des coordonnées dans e.
On définit l’application Q par .
Q est une forme quadratique sur E, et sa matrice F dans la base e est
![]() |
À cause du coefficient 2, il ne faut pas oublier que les termes non diagonaux valent la moitié des coefficients lus dans l’expression analytique. |
Toutes ces considérations seront utiles dans l'étude des coniques et des quadriques d'un espace euclidien.
Changement de base
![](../../I/Dobry_Artykul-MK.svg.png.webp)
Soient :
- et deux bases de ;
- , de matrice dans et dans ;
- , matrice de passage de à .
Alors .
Pour tous n-uplets de réels et , en désignant par et les vecteurs de coordonnées et dans , et par et les coordonnées de ces mêmes vecteurs dans , on a
- ,
ce qui, puisque et sont arbitraires, prouve l'égalité des deux matrices.