Définitions

Soit :

• Q une forme quadratique non nulle sur ${\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}}$
• l une forme linéaire sur ${\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}}$
• ${\displaystyle {\rm {O}}\in {\mathcal {P}}}$
• ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$

Définition

Une conique est un ensemble de points de la forme ${\displaystyle \left\{{\rm {M}}\in {\mathcal {P}}|Q\left({\overrightarrow {OM}}\right)+l\left({\overrightarrow {OM}}\right)=k\right\}}$

Dans un repère orthonormé ${\displaystyle (O;{\vec {i}},{\vec {j}})}$ de ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, il existe ${\displaystyle (a,b,c,d,e)\in \mathbb {R} ^{5}}$ tel que la conique s'écrive ${\displaystyle {\begin{matrix}\left\{{\rm {M}}{\begin{array}{|l}x\\y\end{array}}\in {\mathcal {P}}~,~\right.&\underbrace {ax^{2}+2bxy+cy^{2}} &+\underbrace {dx+ey} &\left.{\begin{array}{l}~\\~\end{array}}=k\right\}\\&Q\left({\overrightarrow {OM}}\right)&l\left({\overrightarrow {OM}}\right)&\\\end{matrix}}}$

La matrice dans la base ${\displaystyle ({\vec {i}},{\vec {j}})}$ de l'endomorphisme autoadjoint u associé à Q est ${\displaystyle {\begin{matrix}a&b\\b&c\end{matrix}}}$

Il existe une base ${\displaystyle ({\vec {I}},{\vec {J}})}$ de ${\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}}$ dans laquelle la matrice de u est ${\displaystyle {\begin{matrix}\lambda &0\\0&\mu \end{matrix}}}$

Conique dégénérée

On dit que la conique est non dégénérée

ssi aucune valeur propre de l'endomorphisme associé à la forme quadratique n'est nulle

ssi ${\displaystyle ac-b^{2}\not =0}$

Coniques

Coniques non dégénérées

Début d’un principe

Type ellipse

Si les valeurs propres sont de même signe, ie ${\displaystyle ac-b^{2}>0}$, alors la conique est de type ellipse.

Elle peut être :

• réduite à ${\displaystyle \{0\}}$
• vide
• d'équation réduite ${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$ avec a > b

où a est le demi-grand-axe

où b est le demi-petit-axe

Fin du principe

Début d’un principe

Type hyperbole

Si les valeurs propres sont de signes opposés, ie ${\displaystyle ac-b^{2}<0}$, alors la conique est de type hyperbole.

Elle peut être :

• d'équation réduite ${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}-{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=0}$, auquel cas on a deux droites sécantes
• d'équation réduite ${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}-{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$, auquel cas on a une hyperbole

Fin du principe

Conique dégénérée

Début d’un principe

Type parabole

Si une valeur propre est nulle, ie ${\displaystyle ac-b^{2}=0}$, alors la conique est de type parabole.

Elle peut être :

• vide
• réduite à une droite
• réduite à deux droites parallèles
• d'équation réduite ${\displaystyle Y^{2}=2pX}$

où a est le demi-grand-axe

où b est le demi-petit-axe

Fin du principe