Application linéaire/Projecteurs, symétries

Dans un K-espace vectoriel E, soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires : $E=F\oplus G$

Projecteurs

Définition

Tout vecteur $x$ de $E$ se décompose de façon unique comme somme d'un vecteur $y$ de $F$ et d'un vecteur $z$ de $G$ . On appelle $y$ le projeté de $x$ sur $F$ parallèlement à $G$ (ce projeté est évidemment égal à $x$ si $x\in F$ et à $0$ si $x\in G$ ). On considère l'application $x\mapsto y$ :

Définition

L'application $p:E\to E$ définie par (pour tout $x\in E$ ) :

p(x)\in F\quad {\text{et}}\quad x-p(x)\in G

est appelée le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ .

Propriétés immédiates

$p\in \operatorname {L} (E)$ .
$F=\operatorname {Fix} (p)=\operatorname {Im} p$ .
$G=\operatorname {Ker} p$ .
Le projecteur sur $G$ parallèlement à $F$ est $\operatorname {Id} _{E}-p$ .
$p\circ p=p$ .

Démonstration

Pour tous vecteurs $x,y\in E$ et tout scalaire $\lambda$ , $p(x)+\lambda p(y)\in F+\lambda F=F$ et $(x+\lambda y)-(p(x)+\lambda p(y))=(x-p(x))+\lambda (y-p(y))\in G+\lambda G=G$ , donc $p(x+\lambda y)=p(x)+\lambda p(y)$ .
$\operatorname {Fix} (p)\subset \operatorname {Im} p\subset F$ par définition et tout vecteur $x$ de $F$ est fixe par $p$ (car $x\in F$ et $x-x\in G$ ).
$\operatorname {Ker} p\subset G$ par définition et réciproquement, pour tout $x\in G$ , $p(x)=0$ (car $0\in F$ et $x-0\in G$ ).
Pour tout $x\in E$ , $(\operatorname {Id} _{E}-p)(x)=x-p(x)\in G$ et $x-(\operatorname {Id} _{E}-p)(x)=p(x)\in F$ .
équivaut à $\operatorname {Im} p\subset \operatorname {Fix} (p)$ , déjà prouvé ci-dessus.

Caractérisation

Réciproquement :

Théorème

Pour tout endomorphisme $p$ de $E$ tel que $p\circ p=p$ , les sous-espaces $\operatorname {Im} p$ et $\operatorname {Ker} p$ sont supplémentaires, et $p$ est le projecteur sur le premier, parallèlement au second.

Démonstration

Notons $F'=\operatorname {Im} p$ et $G'=\operatorname {Ker} p$ .

$F'\cap G'\subset \{0\}$ : si $y\in F'\cap G'$ , alors $y$ est de la forme $p\left(x\right)$ et $0=p\left(y\right)=p\circ p\left(x\right)=p\left(x\right)=y$ .
$E\subset F'+G'$ : pour tout vecteur $x$ de $E$ , soient $y=p\left(x\right)$ et $z=x-p\left(x\right)$ . Alors, $x=y+z$ , $y\in F'$ et $z\in G'$ (car $p\left(x-p\left(x\right)\right)=p\left(x\right)-p\circ p\left(x\right)=0$ ).

Donc $F'\oplus G'=E$ , et $p\left(x\right)$ est bien le projeté de $x$ sur $F'$ parallèlement à $G'$ .

Finalement « projecteurs » et « couples d'espaces vectoriels supplémentaires » se correspondent bijectivement.

Symétries

Définition

La symétrie par rapport à F parallèlement à G est l'endomorphisme de E

s:=p-q

,

où

p

est le projecteur sur

F

parallèlement à

G

et

q

est le projecteur sur

G

parallèlement à

F

.

Puisque $q=\operatorname {Id} _{E}-p$ , on peut aussi définir $s$ par : $s:=2p-\operatorname {Id} _{E}$ , ou encore : $s:=\operatorname {Id} _{E}-2q$ .

Propriétés immédiates

$s$ est une involution donc un automorphisme de $E$ .
Si la caractéristique de $K$ est différente de $2$ alors $G=\operatorname {Ker} p=\operatorname {Ker} \left(s+\operatorname {Id} _{E}\right)$ et $F=\operatorname {Ker} q=\operatorname {Ker} \left(s-\operatorname {Id} _{E}\right)$ .

Caractérisation

Réciproquement :

Théorème

Si la caractéristique de $K$ est différente de $2$ alors, pour tout endomorphisme $s$ de $E$ tel que $s\circ s=\operatorname {Id} _{E}$ , les sous-espaces $\operatorname {Ker} \left(s-\operatorname {Id} _{E}\right)$ et $\operatorname {Ker} \left(s+\operatorname {Id} _{E}\right)$ sont supplémentaires, et $s$ est la symétrie par rapport au premier, parallèlement au second.

Démonstration

On pose $p={\frac {\operatorname {Id} _{E}+s}{2}}$ . Alors, $p\circ p=p$ donc $p$ est un projecteur, et $s=2p-\operatorname {Id} _{E}$ est une symétrie.

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