Série numérique/Théorème de Stolz-Cesàro

Théorème

D'après le lemme de Cesàro, pour toute suite réelle $(a_{n})$ , si $a_{n}\to \ell \in {\overline {\mathbb {R} }}$ alors ${\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}}{n}}\to \ell$ .

Le premier point du théorème suivant généralise ce lemme, permettant ainsi (sous certaines hypothèses) de comparer les sommes partielles de deux séries divergentes. Le second point permet de comparer les restes de deux séries convergentes.

Théorème

Soient $(a_{n})$ et $(b_{n})$ deux suites réelles telles que

\forall n\quad b_{n}>0

et

{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to \ell \in {\overline {\mathbb {R} }}

.

Si $\sum b_{n}=+\infty$ alors ${\frac {\sum _{k\leq n}a_{k}}{\sum _{k\leq n}b_{k}}}\to \ell$ .
Si les séries $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ convergent alors ${\frac {\sum _{k=n}^{\infty }a_{k}}{\sum _{k=n}^{\infty }b_{k}}}\to \ell$ .

Remarques

Le lemme de Cesàro est le cas $b_{n}=1$ du point 1.
Si $\ell \neq \pm \infty$ , l'hypothèse de la convergence de $\sum a_{n}$ dans le point 2 est redondante : elle résulte de la convergence de $\sum b_{n}$ .
L'énoncé reste vrai si les $a_{n}$ et $\ell$ sont des nombres complexes ou, plus généralement, des éléments d'un espace vectoriel normé.

Démonstration du point 1

Montrons plus généralement que si $\sum b_{n}$ est une série divergente à termes $>0$ alors, pour toute suite réelle $(a_{n})$ :

\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k\leq n}a_{k}}{\sum _{k\leq n}b_{k}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k\leq n}a_{k}}{\sum _{k\leq n}b_{k}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}

.

Clairement, il suffit de prouver la troisième inégalité (la première s'en déduit en remplaçant $(a_{n})$ par son opposée), et l'on peut supposer : $L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<+\infty$ . Il s'agit alors de montrer que pour tout réel $L'>L$ ,

\limsup _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k\leq n}a_{k}}{\sum _{k\leq n}b_{k}}}\leq L'

.

Par définition, tout majorant strict de la limite supérieure d'une suite majore cette suite à partir d'un certain rang. Si $L'>L$ , il existe donc un entier $N$ tel que

\forall k\geq N\quad a_{k}\leq L'b_{k}

,

si bien que pour tout $\forall n\geq N$ ,

\sum _{k\leq n}a_{k}\leq \sum _{k<N}a_{k}+L'\sum _{k=N}^{n}b_{k}=C+L'\sum _{k\leq n}b_{k}

où

C=\sum _{k<N}(a_{k}-L'b_{k})

donc

{\frac {\sum _{k\leq n}a_{k}}{\sum _{k\leq n}b_{k}}}\leq L'+{\frac {C}{\sum _{k\leq n}b_{k}}}

.

En passant aux limites supérieures des deux membres, on a donc bien :

\limsup _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k\leq n}a_{k}}{\sum _{k\leq n}b_{k}}}\leq L'+{\frac {C}{+\infty }}=L'

.

Démonstration du point 2

Par le même raisonnement que pour le point 1, il suffit ici de montrer que si $\sum b_{n}$ est une série convergente à termes $>0$ alors, pour toute série réelle convergente $\sum a_{n}$ et tout réel $L'>\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ , on a :

\limsup _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k\geq n}a_{k}}{\sum _{k\geq n}b_{k}}}\leq L'

,

en s'appuyant sur l'existence d'un entier $N$ tel que

\forall k\geq N\quad a_{k}\leq L'b_{k}

.

La preuve est ici plus simple que pour le point 1 : on a

\forall n\geq N\quad \sum _{k\geq n}a_{k}\leq L'\sum _{k\geq n}b_{k}

donc

\forall n\geq N\quad {\frac {\sum _{k\geq n}a_{k}}{\sum _{k\geq n}b_{k}}}\leq L'

.

Par conséquent, on a bien

\limsup _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k\geq n}a_{k}}{\sum _{k\geq n}b_{k}}}\leq L'

.

Exemples

Exemple 1 : séries de Riemann

Voir les exercices sur : Exemple de télescopage.

On sait que la série de Riemann $\sum {\frac {1}{n^{\alpha }}}$ (ou toute série dont le terme général est équivalent à ${\frac {1}{n^{\alpha }}}$ ) converge si et seulement si $\alpha >1$ .

Le théorème de Stolz-Cesàro permet de calculer un équivalent de la suite de ses restes dans le cas convergent, et de ses sommes partielles dans le cas divergent :

Soient $\gamma >0$ et $a_{n}\sim {\frac {1}{n^{1+\gamma }}}$ . Posons (pour $n\geq 1$ ) : $b_{n}={\frac {1}{n^{\gamma }}}-{\frac {1}{(n+1)^{\gamma }}}$ . Ainsi,
$b_{n}={\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{\gamma }-1}{(n+1)^{\gamma }}}\sim \gamma a_{n}$ donc ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to {\frac {1}{\gamma }}$ .

Or $\sum _{k\geq n}b_{k}={\frac {1}{n^{\gamma }}}$ . Par conséquent, $\sum a_{n}$ converge et $\sum _{k\geq n}a_{k}\sim {\frac {1}{\gamma n^{\gamma }}}$ .

Autrement dit : si $a_{n}\sim {\frac {1}{n^{\alpha }}}$ avec $\alpha >1$ alors $\sum a_{n}$ converge et $\sum _{k\geq n}a_{k}\sim {\frac {1}{(\alpha -1)n^{\alpha -1}}}$ .
Pour $a_{n}\sim {\frac {1}{n}}$ , on pose $b_{n}=\ln(n+1)-\ln n$ . Ainsi, $b_{n}=\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\sim a_{n}$ . Or $\sum _{k=1}^{n}b_{k}=\ln(n+1)\sim \ln n$ . Par conséquent, $\sum _{k=1}^{n}a_{k}\sim \ln n$ .
Soient $\gamma >0$ et $a_{n}\sim n^{\gamma -1}$ . Posons $b_{n}=(n+1)^{\gamma }-n^{\gamma }$ . Ainsi,
$b_{n}=n^{\gamma }\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{\gamma }-1\right)\sim \gamma a_{n}$ donc ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to {\frac {1}{\gamma }}$ .

Or $\sum _{k=1}^{n}b_{k}=(n+1)^{\gamma }-1\sim n^{\gamma }$ . Par conséquent, $\sum _{k=1}^{n}a_{n}\sim {\frac {n^{\gamma }}{\gamma }}$ .

Autrement dit : si $a_{n}\sim {\frac {1}{n^{\alpha }}}$ avec $\alpha <1$ alors $\sum _{k=1}^{n}a_{k}\sim {\frac {n^{1-\alpha }}{1-\alpha }}$ .

Exemple 2 : ln(n!) ~ n ln(n)

$\ln(n!)=\sum _{k=1}^{n}\ln k$ est la somme partielle d'une série grossièrement divergente. Or $(k+1)\ln(k+1)-k\ln k=\ln k+(k+1)\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)=\ln k+O(1)\sim \ln k$ . Donc

\ln(n!)\sim \sum _{k=1}^{n}{\Big (}(k+1)\ln(k+1)-k\ln k{\Big )}=(n+1)\ln(n+1)\sim n\ln n

.

Voir aussi cet exercice de comparaison série-intégrale ou, pour un résultat beaucoup plus précis, l'équivalent de De Moivre et même, la formule de Stirling.

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