La somme ${\displaystyle \sum _{k\geq 1}{\frac {|\sin(\pi k)|}{k}}}$ est nulle car ${\displaystyle |\sin(\pi k)|=0}$ mais nous allons montrer que ${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {|\sin(\pi t)|}{t}}\;\mathrm {d} t=+\infty }$. Le critère de comparaison série-intégrale n'est pas applicable ici car la fonction ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R} ,\;t\mapsto {\frac {|\sin(\pi t)|}{t}}}$ n'est pas monotone à partir d'un certain seuil (elle est nulle sur les entiers et strictement positive ailleurs).

Soit ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ^{*}}$.

${\displaystyle \int _{1}^{N}{\frac {|\sin(\pi t)|}{t}}\;\mathrm {d} t=\sum _{k=2}^{N}\int _{k-1}^{k}{\frac {|\sin(\pi t)|}{t}}\;\mathrm {d} t}$.

Si ${\displaystyle t\in [k-1,k]}$ alors ${\displaystyle {\frac {1}{t}}\geq {\frac {1}{k}}}$, d'où :

${\displaystyle \int _{k-1}^{k}{\frac {|\sin(\pi t)|}{t}}\;\mathrm {d} t\geq {\frac {1}{k}}\int _{k-1}^{k}|\sin(\pi t)|\;\mathrm {d} t={\frac {1}{k}}\int _{0}^{1}\sin(\pi s)\;\mathrm {d} s={\frac {1}{k}}\left[{\frac {-\cos(\pi s)}{\pi }}\right]_{0}^{1}={\frac {2}{k\pi }}}$.

Donc ${\displaystyle \int _{1}^{N}{\frac {|\sin(\pi t)|}{t}}\;\mathrm {d} t\geq {\frac {2}{\pi }}\sum _{k=2}^{N}{\frac {1}{k}}\;{\xrightarrow[{N\to +\infty }]{}}+\infty }$ car la série harmonique diverge.

Montrons maintenant que ${\displaystyle \sum {\frac {|\sin n|}{n}}}$ diverge. Pour tout entier ${\displaystyle k}$, l'intervalle ${\displaystyle \left[k\pi +{\frac {\pi }{6}},(k+1)\pi -{\frac {\pi }{6}}\right[}$ contient au moins un entier (car ${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}>1}$). Notons ${\displaystyle n(k)}$ l'un d'entre eux. Alors,

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {|\sin n|}{n}}\geq \sum _{k\geq 1}{\frac {|\sin n(k)|}{n(k)}}\geq \sum _{k\geq 1}{\frac {1/2}{(k+1)\pi }}=+\infty }$.

Une autre méthode consiste à minorer ${\displaystyle |\sin n|}$ par ${\displaystyle \sin ^{2}n={\frac {1-\cos(2n)}{2}}}$ et à remarquer que ${\displaystyle \sum {\frac {\cos(2n)}{n}}}$ converge d'après le critère d'Abel…

1. La dérivée de cette fonction ${\displaystyle f_{\alpha ,\beta }}$ (définie sur ${\displaystyle \left]1,+\infty \right[}$) est du signe de ${\displaystyle -\alpha \ln x-\beta }$.
2. D'après la question 1, la série ${\displaystyle \sum _{n\geq 2}f_{\alpha ,\beta }(n)}$ est de même nature que l'intégrale ${\displaystyle \int ^{+\infty }f_{\alpha ,\beta }}$.
   • Pour ${\displaystyle \beta =0}$, elle est donc convergente si et seulement si ${\displaystyle \alpha >1}$ car lorsque ${\displaystyle A\to +\infty }$,

     ${\displaystyle \int _{1}^{A}{\frac {\mathrm {d} x}{x^{\alpha }}}={\begin{cases}{\frac {A^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }}&\to +\infty &{\text{ si }}\alpha >1\\\ln A&\to +\infty &{\text{ si }}\alpha =1\\{\frac {A^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }}&\to {\frac {1}{\alpha -1}}&{\text{ si }}\alpha >1.\end{cases}}}$

   • Pour ${\displaystyle \alpha =1}$, elle est donc convergente si et seulement si ${\displaystyle \beta >1}$ car (par changement de variable ${\displaystyle t=\ln x}$) ${\displaystyle \int _{2}^{+\infty }f_{1,\beta }(x)\;\mathrm {d} x=\int _{\ln 2}^{+\infty }f_{\beta ,0}(t)\;\mathrm {d} t}$.

${\displaystyle \ln(n!)=\sum _{k=1}^{n}\ln k}$ est compris entre ${\displaystyle \int _{1}^{n}\ln t\;\mathrm {d} t}$ et ${\displaystyle \int _{2}^{n+1}\ln t\;\mathrm {d} t}$ donc est équivalent, comme eux, à ${\displaystyle n\ln n}$.