Suites et récurrence/Comparaison de suites

Suites bornées

Définition

Une suite $(u_{n})$ est majorée s'il existe (au moins) un réel M supérieur à tous les termes de la suite : pour tout indice $n$ , $u_{n}\leq M$ .
Une suite $(u_{n})$ est minorée s'il existe (au moins) un réel m inférieur à tous les termes de la suite : pour tout indice $n$ , $u_{n}\geq m$ .
Une suite $(u_{n})$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c'est-à-dire si la suite $(\left|u_{n}\right|)$ est majorée.

Premiers exemples

La suite $(u_{n})$ définie pour $n>0$ par $u_{n}=2+{\frac {1}{n}}$ est bornée, et même convergente.

Les suites $(\cos n)$ et $(\sin n)$ sont bornées et non convergentes.

Exemple plus détaillé

Soit $u$ la suite définie par $u_{0}=10$ et la relation de récurrence $u_{n+1}=0,6u_{n}+5$ . Montrer que cette suite est majorée.

À l'aide d'un algorithme, on conjecture que la suite est bien majorée par exemple par 15.

Montrons la propriété $P$ : pour tout $n\in \mathbb {N}$ , $u_{n}\leq 15$ .

On a $u_{0}=10\leq 15$ , la propriété $P$ est donc vraie au rang $n=0$ .

Supposons la propriété vraie au rang $n$ fixé. On a $u_{n}\leq 15$ d'où $0,6\times u_{n}\leq 9$ soit $0,6\times u_{n}+5\leq 14\leq 15$ donc on a $u_{n+1}\leq 15$ . La propriété est donc héréditaire.

La propriété $P$ est vraie au rang 0 et est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier $n$ , la suite est donc bien majorée.

Remarque : En fait, on peut monter que la suite est majorée par $12,5$ .

Deux théorèmes de convergence

Les deux théorèmes ci-dessous sont admis. Ils seront démontrés au niveau 14.

Suites monotones

Théorème de la limite monotone pour les suites

Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.

C'est un cas particulier du théorème de la limite monotone pour les fonctions, puisqu'une suite numérique monotone n'est autre qu'une fonction monotone de $\mathbb {N}$ dans $\mathbb {R}$ .

Toute suite monotone non bornée est divergente. Plus précisément :

Propriété

Toute suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$
Toute suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$

Démonstration

La suite $(u_{n})$ est non majorée si et seulement si aucun réel $A$ ne majore tous les termes de la suite, autrement dit, si : pour tout réel $A$ , il existe un entier naturel N tel que $u_{N}>A$ .

Or, la suite $u$ est croissante donc pour tout entier naturel $n\geq N$ , $u_{n}\geq u_{N}$ . Comme $u_{N}>A$ , on a donc : pour tout réel $A$ , $u_{n}>u_{N}>A$ à partir d'un certain rang $N$ .

Par définition :

Une suite $(u_{n})$ a pour limite $+\infty$ si pour tout réel $A$ , $u_{n}>A$ à partir d'un certain rang.
Donc, la suite $(u_{n})$ croissante non majorée admet $+\infty$ comme limite.

La deuxième propriété se démontre de façon analogue.

Théorème des gendarmes

Théorème des gendarmes pour les suites

Soient $(u_{n})$ , $(v_{n})$ et $(w_{n})$ trois suites réelles. On suppose qu'à partir d'un certain rang :

v_{n}\leq u_{n}\leq w_{n}

Si les suites $(v_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers $\ell \in \mathbb {R}$ , alors $u_{n}\longrightarrow \ell$ .

C'est un cas particulier du théorème des gendarmes pour les fonctions, puisque $u,v,w$ sont trois applications de $\mathbb {N}$ dans $\mathbb {R}$ .

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