Ce sont des égalités qui relient les fonctions trigonométriques cosinus, sinus et tangente entre elles.
La tangente comme quotient
On a pour toute mesure d'angle différente de et de :
donc , puisque et .
On a vu que
Ainsi
donc pour tout angle différent de et de (car ), on a : .
Il manque les angles obtus.Sachant que et , calculer une valeur approchée de .
.
Formule liant cosinus et sinus (Formule fondamentale)
On a pour tout réel :
On utilise le théorème de Pythagore, qui stipule que
- « Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. »
Sur le cercle trigonométrique ci-contre, cela se traduit par :
- .
Or ici :
- ;
- ;
- .
Ainsi, .
Exemple : Calcul du sinus à partir du cosinus
Sachant que , calculer une valeur exacte de .
donc : ou .
N.B. : attention, n'oubliez pas la racine négative ; c’est une erreur courante.
Propriétés des arcs associés
On montre aisément, à l'aide de symétries, les propriétés suivantes.
Formules de trigonométrie
Nous démontrerons au chapitre 11 les formulaires ci-dessous.
Soient et deux réels.
Formulaire 1 : addition
(On en déduit des formules analogues en remplaçant par , grâce aux formules de la première section ci-dessus.)
Formulaire 2 : duplication
Formulaire 3 : linéarisation (formules de Carnot)
Formulaire 4 : produit-somme
Formulaire 5 : somme-produit (formules de Simpson)
(On en déduit des formules analogues en remplaçant par , grâce aux formules de la première section ci-dessus.)