Cette annexe va présenter une démonstration des formules de trigonométrie du chapitre 7 (page dont il serait très pratique d’avoir en parallèle avec ce cours, dans votre navigateur). Il existe des démonstrations ne relevant que de géométrie pure mais dans le but de généraliser les formules aux angles orientés et à valeur réelle (angles négatifs, angles supérieurs à 360°), nous allons devoir recourir à la géométrie analytique.
Notre priorité sera avant tout de montrer les deux formules concernant et . Toutes les autres en découleront immédiatement.
Les formules d'addition
Soient et deux réels. Dans un repère orthonormé , posons et les points du cercle trigonométrique tels que
- et .
Soit encore le point du cercle trigonométrique tel que
- .
Alors :
Mais dans le repère ,
Or .
Les composantes d’un vecteur étant uniques, nous pouvons identifier :
Enfin,
Construction
Soient :
- un cercle de centre , de rayon ;
- trois point sur le cercle tels que et ;
- les projetés orthogonaux de sur ;
- le projeté orthogonal de sur ;
- le point d'intersection de et .
On remarque que :
- , , , ;
- et ;
- .
cos(a + b)
sin(a + b)
Les autres formules
En posant , et en n'oubliant pas que — ou encore (en divisant les deux membres par ) : — les formules de duplication viennent clairement.
De là, on trouve facilement les formules de linéarisation à l'aide de deux expressions de .
Les formulaires 4 et 5 s'obtiennent à partir du formulaire 1 :
donc
et, par un changement de variable, en posant et ,
- .
La formule se déduit directement de la formule d'addition pour .