Exercice 4-1
Démontrez les identités suivantes :
1° ;
2° ;
3° ;
4° .
1° D'après l'exercice 4-3, .
2° ( d'après 1°).
3° .
4° donc .
Exercice 4-2
Démontrez les formules suivantes :
1° ;
2° ;
3° .
On a (cf. exercice 4-7), d'où 1° (par produit) et 2° (en remplaçant par ). 3° se déduit de 2° par produit, ou de 1° en remplaçant par .
Exercice 4-3
Soit et deux réels tels que . Démontrer que :
1° ;
2° .
On a , d'où 1°. 2° s'en déduit en remplaçant par , ou se démontre de même.
Exercice 4-4
Démontrer que pour tout réel :
1° ;
2° .
D'après une formule de Simpson, , d'où la première égalité du 1° ; la seconde vient de . Le 2° se déduit du 1° en remplaçant par , ou se démontre de même.
Exercice 4-5
Vérifier la relation :
- .
D'après l'exercice 4-7, .
Exercice 4-6
Vérifier les relations :
1° ;
2° .
1° .
2° .
Exercice 4-7
Vérifier les relations :
1° et ;
2° ;
3° ;
4° .
1° D'après l'exercice 4-3 et les formules de transformation d'un produit en somme, , d'où la première égalité du 1°. La seconde s'en déduit en faisant . Elle équivaut à la troisième, sachant que .
2° , d'où la première égalité du 2°. Elle équivaut à la seconde, sachant que .
3° , d'après la question précédente.
4° D'après l'exercice 4-3, .
Exercice 4-8
Vérifier les relations :
1° ;
2° .
1° .
2° D'après l'exercice 4-7, .
- Par ailleurs, .