Soient E et I deux ensembles. On appelle famille d'éléments de E indexée par I, toute application de I dans E. L'ensemble I s’appelle ensemble des indices. Si ${\displaystyle x:i\mapsto x(i)}$ est une famille, on note x_i l'image de i par x et ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ cette famille.

• Si I est une partie de ${\displaystyle \mathbb {N} }$, alors la famille est une suite.
• Si l'ensemble I est fini, alors la famille est dite finie.
• Si ${\displaystyle E={\mathcal {P}}(X)}$ pour un certain ensemble X, alors la famille est une famille de parties de X.
• Soient E un ensemble et A une partie de E. L'injection ${\displaystyle {\begin{matrix}\iota$ :&A&\rightarrow &E\\&x&\mapsto &x\end{matrix}}} est une famille indexée par A et se note généralement ${\displaystyle (x)_{x\in A}}$. Elle est appelée « famille canoniquement associée à la partie A ».

Soit ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ une famille de parties d'un ensemble E. On appelle :

• réunion de la famille ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ l'ensemble ${\displaystyle \left\{x\mid \exists i\in I\quad x\in A_{i}\right\}}$, noté ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$.
• intersection de la famille ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ l'ensemble ${\displaystyle \left\{x\in E\mid \forall i\in I\quad x\in A_{i}\right\}}$, noté ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}}$.

Soient ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ une famille de parties d'un ensemble E, et ${\displaystyle s:J\to I}$ une surjection. Alors :

• ${\displaystyle \bigcup _{j\in J}A_{s(j)}=\bigcup _{i\in I}A_{i}}$ ;
• ${\displaystyle \bigcap _{j\in J}A_{s(j)}=\bigcap _{i\in I}A_{i}}$.

Soient ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ une famille de parties d'un ensemble E et ${\displaystyle (J_{k})_{k\in K}}$ un recouvrement de I. Alors :

• ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{k\in K}\bigcup _{i\in J_{k}}A_{i}}$ ;
• ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcap _{k\in K}\bigcap _{i\in J_{k}}A_{i}}$.

Soient ${\displaystyle (B_{i})_{i\in I}}$ une famille de parties d'un ensemble E et ${\displaystyle A}$ une partie de E. Alors :

• ${\displaystyle A\cap \bigcup _{i\in I}B_{i}=\bigcup _{i\in I}(A\cap B_{i})}$ ;
• ${\displaystyle A\cup \bigcap _{i\in I}B_{i}=\bigcap _{i\in I}(A\cup B_{i})}$.

Soit ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ une famille de parties d'un ensemble E. Alors :

• ${\displaystyle \complement _{E}\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}\complement _{E}A_{i}}$ ;
• ${\displaystyle \complement _{E}\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}\complement _{E}A_{i}}$.

Soit ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ une famille de parties d'un ensemble E. On dit que cette famille forme un recouvrement de E si la réunion des parties de la famille est égale à E, c'est-à-dire si ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=E}$.

Soit ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ un recouvrement d'un ensemble E. On dit que cette famille constitue une partition de E si de plus :

• aucune des parties ${\displaystyle A_{i}}$ n'est vide ;
• les parties ${\displaystyle A_{i}}$ sont deux à deux disjointes, c'est-à-dire ${\displaystyle \forall (i,j)\in I^{2}\quad \left(i\neq j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\varnothing \right)}$.

Soient E et F deux ensembles, f une application de E dans F, ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ une famille de parties de E et ${\displaystyle (B_{j})_{j\in J}}$ une famille de parties de F. Alors :

1. ${\displaystyle f\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_{i})}$ ;
2. ${\displaystyle f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\subset \bigcap _{i\in I}f(A_{i})}$ ;
3. ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{j\in J}B_{j}\right)=\bigcup _{j\in J}f^{-1}(B_{j})}$ ;
4. ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{j\in J}B_{j}\right)=\bigcap _{j\in J}f^{-1}(B_{j})}$.