Introduction aux suites numériques/Suites géométriques

Définition par récurrence

Définition

Une suite est géométrique quand on multiplie toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Une suite géométrique est donc définie par :

Le facteur q qui permet de passer d'un terme au suivant s’appelle la raison de la suite $(u_{n})$ .

Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont géométriques ? Dans ce cas, donner leur raison.

Solution

Pour arriver à $u_{n}$ , il faut multiplier n fois par la raison q le premier terme $u_{0}$

Théorème

Le terme général d'une suite géométrique $(u_{n})$ est donné par la formule :

u_{n}=q^{n}\times u_{0}

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=3$ et q = 1,5. Calculer $u_{11}$
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=0,5$ et q = -2. Calculer $u_{25}$
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{1}=8$ et q = 0,25. Calculer $u_{10}$
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{15}=3^{20}$ et q = 3. Calculer $u_{0}$
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{11}=25$ et $u_{14}=200$ . Calculer $u_{0}$ et q.

Solution

$u_{n}=u_{0}\times q^{n}$ donc $u_{11}=3\times (1,5)^{1}1\approx 259,5$
$u_{25}=-16777216$
$u_{n}=u_{0}\times q^{n}=u_{1}\times q^{n-1}$ donc $u_{10}=8\times (0,25)^{9}=3,0518\times 10^{-5}$
$u_{0}={\frac {u_{n}}{q^{n}}}$ donc $u_{0}={\frac {3^{20}}{3^{15}}}=3^{5}=243$
On a $u_{11}=u_{0}\times q^{11}$ et $u_{14}=u_{0}\times q^{14}$ , donc ${\frac {u_{14}}{u_{11}}}=q^{3}=8$ , soit $q=2$ . On en déduit : $u_{0}={\frac {u_{11}}{2^{11}}}={\frac {25}{2048}}$

Théorème

Une suite géométrique de premier terme positif et de raison q est :

Théorème

La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique $(u_{n})$ de raison $q$ du rang $i$ au rang $j$ s'exprime par :

u_{i}+u_{i+1}+\cdots +u_{j}={\begin{cases}u_{i}\times {\frac {1-q^{k}}{1-q}}&{\text{lorsque }}q\neq 1\\u_{i}\times k&{\text{lorsque }}q=1\end{cases}}

où $k=j-i+1$ est le nombre de termes de la somme.

Démonstration

Soit $S:=u_{i}+u_{i+1}+\cdots +u_{j}$ la somme à calculer. On écrit

$S=u_{i}+u_{i}q+\dots +u_{i}q^{j-i}$
Si $q\neq 1$ on multiplie les deux membres de l'égalité par $1-q$: ${\begin{aligned}(1-q)S&=(1-q)(u_{i}+u_{i}q+\dots +u_{i}q^{j-i})\\&=u_{i}+u_{i}q+\dots +u_{i}q^{j-i}\\&{\color {White}{}=u_{i}}-u_{i}q-\dots -u_{i}q^{j-i}-u_{i}q^{j-i+1}\\&=u_{i}-u_{i}q^{j-i+1}\\&=u_{i}(1-q^{k})\end{aligned}}$

Finalement, on trouve :

S=u_{i}{\cfrac {1-q^{k}}{1-q}}

.

On trouve donc :

S=u_{i}k

.

En utilisant la formule,

1. Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=3$ et q = 2. Calculer $S=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{20}$

2. Calculer $S=1+3+9+27+81+\cdots +59049$

Solution

1. $S=3\times {\frac {1-2^{20+1}}{1-2}}=6291453$

2. On remarque que le quotient est 3, que $u_{0}=1$ et que $u_{10}=59049$ . Ainsi, $S=1\times {\frac {1-3^{10+1}}{1-3}}=88573$

Remarque

Les suites géométriques sont utilisées dans de nombreux domaines. Voir en particulier la leçon « Mathématiques financières ».

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