Topologie générale/Suites

La définition et les propriétés de limite d'une fonction que nous venons de voir s'appliquent en particulier aux fonctions définies sur $\mathbb {N}$ , c'est-à-dire aux suites.

Soient $(E,{\mathcal {T}})$ un espace topologique et $(u_{n})$ est une suite d'éléments de $E$ .

Limite d'une suite

La notion de limite (finie ou infinie) d'une suite de réels se généralise naturellement aux suites à valeurs dans un espace topologique qui n'est plus nécessairement la droite réelle achevée :

Définition

Soit $\ell \in E$ . On dit que la suite $(u_{n})$ a pour limite $\ell$ si, pour tout voisinage $V$ de $\ell$ , il existe un entier $N$ tel que $\forall n\geq N\quad u_{n}\in V$ .

On constate que cette définition est un cas particulier de celle de limite d'une fonction en un point adhérent à son domaine de définition, ce point étant ici $+\infty$ , adhérent à $\mathbb {N}$ dans ℕ ∪ {+∞} muni de la topologie de l'ordre. Par conséquent :

Corollaire

Si $\ell$ est limite d'une suite à valeurs dans une partie $A$ de $E$ , alors $\ell \in {\overline {A}}$ .
La réciproque est vraie si $\ell$ admet une base dénombrable de voisinages.
Dans un espace séparé, toute suite admet au plus une limite.

Nous verrons au prochain chapitre que tout espace métrique est séparé et à bases dénombrables de voisinages.

Valeurs d'adhérence d'une suite

Définition

Soit $a\in E$ , on dit que $a$ est une valeur d'adhérence de la suite $(u_{n})$ si

pour tout voisinage

V

de

a

, il existe une infinité d'indices

n

tels que

u_{n}\in V

,

ou plus formellement :

\forall V\in {\mathcal {V}}(a)\quad \forall N\in \mathbb {N} \quad \exists k\geq N\quad u_{k}\in V

.

Définition : suite extraite

Soit $(u_{n})$ une suite. On dit que $(u_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ est une suite extraite (ou sous-suite) de $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ si la suite $(n_{k})$ est à valeurs dans $\mathbb {N}$ et strictement croissante.

Propriétés

Toute limite d'une suite est une valeur d'adhérence de cette suite.
L'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_{n})$ est égal à $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\overline {\{u_{k}\mid k\geq n\}}}$ .
L'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_{n})$ est un fermé.
Toute valeur d'adhérence d'une sous-suite de $(u_{n})$ est une valeur d'adhérence de $(u_{n})$ .
Toute limite d'une sous-suite de $(u_{n})$ est une valeur d'adhérence de $(u_{n})$ .

Démonstration

Si $u_{n}\to \ell$ alors pour tout voisinage $V$ de $\ell$ , il existe un indice à partir duquel tous les termes de la suite sont dans $V$ .
Notons $X_{n}=\{u_{k}\mid k\geq n\}$ . Un point $a$ est une valeur d'adhérence de $(u_{n})$ si et seulement si chacun de ses voisinages rencontre tous les $X_{n}$ , c'est-à-dire si $a$ est adhérent à tous les $X_{n}$ .

Les points 3 et 4 sont des conséquences immédiates du point 2. Le point 5 est une conséquence immédiate des points 1 et 4.

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