• Un point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle E}$ est dit adhérent à ${\displaystyle A}$ si tout voisinage de ${\displaystyle x}$ rencontre ${\displaystyle A}$.
• L'adhérence de ${\displaystyle A}$, notée ${\displaystyle {\overline {A}}}$, est l’ensemble des points adhérents à ${\displaystyle A}$. On l'appelle aussi fermeture ;
• on dit que ${\displaystyle A}$ est dense dans ${\displaystyle E}$ si ${\displaystyle {\overline {A}}=E}$, ou encore, si ${\displaystyle A}$ rencontre tout ouvert non vide de ${\displaystyle E}$.

• Pour la topologie usuelle sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, on a ${\displaystyle {\overline {\left]0,1\right[}}={\overline {\left[0,1\right[}}=\left[0,1\right]}$ et ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}={\overline {\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }}=\mathbb {R} }$.
• Dans une topologie discrète, seuls les points de ${\displaystyle A}$ sont adhérents à ${\displaystyle A}$.
• Dans une topologie grossière, toute partie non vide est dense.
• Si ${\displaystyle A}$ est une partie d'un sous-espace ${\displaystyle X}$ de ${\displaystyle E}$, l'adhérence de ${\displaystyle A}$ dans ${\displaystyle X}$ (pour la topologie induite) est égale à ${\displaystyle {\overline {A}}\cap X}$ (donc ${\displaystyle A}$ est dense dans ${\displaystyle X}$ si et seulement si ${\displaystyle {\overline {A}}={\overline {X}}}$).

L'adhérence de ${\displaystyle A}$ est le plus petit fermé contenant ${\displaystyle A}$.

• ${\displaystyle A\subset {\overline {A}}}$, avec égalité si et seulement si ${\displaystyle A}$ est fermé.
• ${\displaystyle {\overline {\overline {A}}}={\overline {A}}}$.
• ${\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$ (donc ${\displaystyle A\subset B\Rightarrow {\overline {A}}\subset {\overline {B}}}$, donc ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\subset {\overline {A}}\cap {\overline {B}}}$).

• Un point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle E}$ est un point d'accumulation de ${\displaystyle A}$ si tout voisinage de ${\displaystyle x}$ contient un point de ${\displaystyle A}$ distinct de ${\displaystyle x}$.
• Un point de ${\displaystyle A}$ est isolé s'il n'est pas un point d'accumulation de ${\displaystyle A}$.

Dans un espace topologique, un point ${\displaystyle x}$ est intérieur à ${\displaystyle A}$ si ${\displaystyle A}$ est un voisinage de ${\displaystyle x}$. On appelle intérieur de ${\displaystyle A}$ l’ensemble des points intérieurs à ${\displaystyle A}$ et on le note ${\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{A}}}$ ou ${\displaystyle \operatorname {int} (A)}$.

• Pour n'importe quelle topologie, ${\displaystyle \operatorname {int} (\varnothing )=\varnothing }$.
• Pour la topologie grossière sur ${\displaystyle E}$, l'intérieur de toute partie ${\displaystyle A\subsetneq E}$ est vide.
• Pour la topologie usuelle sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ :
  • l'intérieur de ${\displaystyle \left[0,1\right]}$ est ${\displaystyle \left]0,1\right[}$ ;
  • tout singleton est d'intérieur vide ;
  • ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ et ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ sont d'intérieur vide.

L'intérieur de ${\displaystyle A}$ est le plus grand ouvert inclus dans ${\displaystyle A}$.

• ${\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{A}}\subset A}$, avec égalité si et seulement si ${\displaystyle A}$ est ouvert, donc
  ${\displaystyle A}$ est un ouvert si et seulement si ${\displaystyle A}$ est voisinage de chacun de ses points.
• ${\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{\stackrel {\ \circ }{A}}}={\stackrel {\ \circ }{A}}}$.
• l'intérieur de ${\displaystyle A\cap B}$ est ${\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{A}}\cap {\stackrel {\ \circ }{B}}}$ (donc ${\displaystyle A\subset B\Rightarrow {\stackrel {\ \circ }{A}}\subset {\stackrel {\ \circ }{B}}}$, donc ${\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{A}}\cup {\stackrel {\ \circ }{B}}}$ est inclus dans l'intérieur de ${\displaystyle A\cup B}$).
• le complémentaire de ${\displaystyle {\bar {A}}}$ est l'intérieur du complémentaire de ${\displaystyle A}$.

On appelle frontière de ${\displaystyle A}$, et l’on note ${\displaystyle \partial A}$ ou ${\displaystyle \mathrm {Fr} (A)}$, l’ensemble des points adhérents à la fois à A et à son complémentaire.

• La frontière d'un ensemble est un fermé.
• La frontière d'un ensemble est égale à celle de son complémentaire.
• Un ensemble est fermé si et seulement s'il contient sa frontière.
• Un ensemble est à la fois ouvert et fermé si et seulement si sa frontière est vide.