Soient ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ deux espaces topologiques, ${\displaystyle A}$ une partie de ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle f:A\to Y}$ une application, ${\displaystyle a}$ un point adhérent à ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle \ell }$ un point de ${\displaystyle Y}$.

On dit que ${\displaystyle f}$ a pour limite ${\displaystyle \ell }$ au point ${\displaystyle a}$ si, pour tout voisinage ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle \ell }$, il existe un voisinage ${\displaystyle W}$ de ${\displaystyle a}$ tel que ${\displaystyle f(W\cap A)\subset V}$.

Sous les hypothèses de la définition :

• ${\displaystyle \ell }$ est nécessairement adhérent à ${\displaystyle f(A)}$ ;
• si ${\displaystyle Y}$ est séparé et si une telle limite existe alors elle est unique, ce qui légitime dans ce cas la notation ${\displaystyle \lim _{a}f=\ell }$.

Soient ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ deux espaces topologiques, ${\displaystyle f:X\to Y}$ une application et ${\displaystyle a}$ un point de ${\displaystyle X}$. On dit que ${\displaystyle f}$ est continue au point ${\displaystyle a}$ si ${\displaystyle f}$ a pour limite ${\displaystyle f(a)}$ au point ${\displaystyle a}$.

${\displaystyle f}$ est continue au point ${\displaystyle a}$ si et seulement si l'image réciproque par ${\displaystyle f}$ de tout voisinage de ${\displaystyle f(a)}$ est un voisinage de ${\displaystyle a}$ :

${\displaystyle \forall V\in {\mathcal {V}}(f(a))\quad f^{-1}(V)\in {\mathcal {V}}(a)}$.

Si ${\displaystyle f}$ est continue au point ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle g}$ est continue au point ${\displaystyle f(a)}$, alors ${\displaystyle g\circ f}$ est continue au point ${\displaystyle a}$.

L'application ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\;(x,y)\mapsto {\begin{cases}{\frac {\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}}&{\text{si }}(x,y)\neq (0,0)\\1&{\text{si }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$ est continue au point ${\displaystyle (0,0)}$ car égale à ${\displaystyle g\circ f}$, avec ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\;(x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}}$ continue au point ${\displaystyle (0,0)}$ et ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;t\mapsto {\begin{cases}{\frac {\sin t}{t}}&{\text{si }}t\neq 0\\1&{\text{si }}t=0\end{cases}}}$ continue au point ${\displaystyle f(0,0)=0}$.

On dit que ${\displaystyle f}$ est

• continue (sur ${\displaystyle X}$) si elle est continue en tout point de ${\displaystyle X}$ ;
• un homéomorphisme lorsqu'elle est bijective et que ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle f^{-1}}$ sont continues.

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. l'application ${\displaystyle f}$ est continue ;
2. l'image réciproque par ${\displaystyle f}$ de tout ouvert de ${\displaystyle Y}$ est un ouvert de ${\displaystyle X}$ ;
3. l'image réciproque par ${\displaystyle f}$ de tout fermé de ${\displaystyle Y}$ est un fermé de ${\displaystyle X}$ ;
4. pour toute partie ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle f({\overline {A}})\subset {\overline {f(A)}}}$ ;
5. pour toute partie ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle {\overline {f^{-1}(B)}}\subset f^{-1}({\overline {B}})}$ ;
6. pour toute partie ${\displaystyle C}$ de ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle \operatorname {Fr} \left(f^{-1}(C)\right)\subset f^{-1}\left(\operatorname {Fr} (C)\right)}$.

1 ⇒ 2 (resp. 1 ⇒ 3) est souvent utile pour démontrer :

• qu'une partie est ouverte (resp. fermée). Par exemple, tout hyperplan affine de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est de la forme ${\displaystyle H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid f(x)=c\}}$ avec ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle f\neq 0}$ forme linéaire sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (nécessairement continue), donc ${\displaystyle H}$ est un fermé de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ;
• qu'elle ne l'est pas. Par exemple dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, ${\displaystyle A:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |x|=1,|y|\neq 1\}}$ et ${\displaystyle B:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |x|<1,|xy|=1\}}$ ne sont ni ouverts, ni fermés car dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle [x\mapsto (x,0)]^{-1}(A)=\{-1,1\}}$ et ${\displaystyle [x\mapsto (x,2)]^{-1}(B)=\{-1/2,1/2\}}$ ne sont pas ouverts et ${\displaystyle [y\mapsto (1,y)]^{-1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{-1,1\}}$ et ${\displaystyle [t\mapsto (\mathrm {e} ^{t},\mathrm {e} ^{-t})]^{-1}(B)=\left]-\infty ,0\right[}$ ne sont pas fermés.

Soit ${\displaystyle (X_{i},{\mathcal {T}}_{i})_{i\in I}}$ une famille d'espaces topologiques, ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ l'espace produit et ${\displaystyle Y}$ un espace topologique.

• Les projections canoniques ${\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}\quad (i\in I)}$ sont à la fois :
  • continues (l'image réciproque d'un ouvert de ${\displaystyle X_{i}}$ est un ouvert de ${\displaystyle X}$) ;
  • ouvertes (l'image directe d'un ouvert de ${\displaystyle X}$ est un ouvert de ${\displaystyle X_{i}}$).
• Une application ${\displaystyle f:Y\to X}$ est continue si et seulement si ses composantes ${\displaystyle p_{i}\circ f:Y\to X_{i}}$ le sont.
• Si une application ${\displaystyle g:X\to Y}$ est continue alors ses applications partielles le sont (l'application partielle associée à un point ${\displaystyle a\in X}$ et à indice ${\displaystyle i}$ étant : ${\displaystyle X_{i}\to Y,\ t\mapsto g(x)}$ où ${\displaystyle x_{i}=t}$ et ${\displaystyle \forall j\neq i\quad x_{j}=a_{j}}$).

L'application ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} ),\;A\mapsto A^{2}}$ est continue car ses ${\displaystyle n^{2}}$ composantes ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} }$ le sont, en tant que fonctions polynomiales (homogènes de degré 2) en les éléments de la matrice.

Si tout point de ${\displaystyle X}$ admet une base dénombrable de voisinages, alors, pour tout point ${\displaystyle a}$ et toute partie ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ :

1. ${\displaystyle a}$ est adhérent à ${\displaystyle A}$ (si et) seulement s'il est limite d'une suite d'éléments de ${\displaystyle A}$ ;
2. si ${\displaystyle a}$ est adhérent à ${\displaystyle A}$, une application ${\displaystyle f:A\to Y}$ a pour limite ${\displaystyle \ell }$ au point ${\displaystyle a}$ si (et seulement si) pour toute suite ${\displaystyle (a_{n})}$ dans ${\displaystyle A}$ de limite ${\displaystyle a}$, la suite ${\displaystyle (f(a_{n}))}$ a pour limite ${\displaystyle \ell }$.
3. par conséquent, une application ${\displaystyle f:X\to Y}$ est continue au point ${\displaystyle a}$ si (et seulement si) pour toute suite ${\displaystyle (a_{n})}$ de limite ${\displaystyle a}$, la suite ${\displaystyle (f(a_{n}))}$ a pour limite ${\displaystyle f(a)}$.