On sait déjà qu'une partie compacte est toujours fermée et bornée ; il s'agit donc de montrer la réciproque.

Commençons par montrer que tout intervalle de ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ,|\cdot |\right)}$ de la forme ${\displaystyle I=[-M,M]}$ est compact.

Soit ${\displaystyle (u_{n})}$ une suite de ${\displaystyle I}$. Le théorème de Bolzano-Weierstrass nous assure de l'existence d'une suite extraite convergente ${\displaystyle (u_{\phi (n)})}$. Soit ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ sa limite. Comme ${\displaystyle I}$ est un fermé de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle u\in I}$. Ainsi, ${\displaystyle (u_{n})}$ admet une valeur d'adhérence dans ${\displaystyle I}$, ce qui prouve que ${\displaystyle I}$ est compact.

Examinons maintenant le cas général.

Soit ${\displaystyle X}$ une partie fermée et bornée de ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|_{\infty }\right)}$. Comme ${\displaystyle X}$ est bornée, elle est incluse dans un pavé ${\displaystyle [-M,M]^{n}}$. Or, la compacité de ${\displaystyle [-M,M]}$ implique celle de ${\displaystyle [-M,M]^{n}}$, et comme ${\displaystyle X}$ est un fermé inclus dans ce compact, on en déduit que ${\displaystyle X}$ est compact.

Nous allons tout d'abord démontrer le résultat pour l'espace ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, en montrant que toutes les normes sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sont équivalentes à la norme infini ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$.

Soit ${\displaystyle N}$ une norme sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Notons ${\displaystyle (e_{i})_{1\leq i\leq n}}$ la base canonique de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. On a alors, en utilisant l'inégalité triangulaire :

${\displaystyle \forall x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}\in E\quad N(x)\leq \sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|N(e_{i})\leq \left(\sum _{i=1}^{n}N(e_{i})\right)\|x\|_{\infty }}$.

Posons ${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{n}N(e_{i})}$. Ainsi,

${\displaystyle \forall x\in E\quad N(x)\leq M\|x\|_{\infty }}$.

Avec la seconde inégalité triangulaire, on en déduit :

${\displaystyle \forall x,y\in E\quad |N(x)-N(y)|\leq N(x-y)\leq M\|x-y\|_{\infty }}$,

ce qui prouve que sur ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|_{\infty })}$, ${\displaystyle N}$ est ${\displaystyle M}$-lipschitzienne donc continue.

Dans ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|_{\infty })}$, la sphère ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|x\|_{\infty }=1\}}$ est fermée et bornée donc compacte. La restriction de ${\displaystyle N}$ à ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ est donc continue sur un compact, ainsi elle est bornée et atteint ses bornes. Notons ${\displaystyle m}$ sa borne inférieure. Celle-ci, a priori positive ou nulle, est forcément non nulle car ${\displaystyle N(x)=0}$ implique ${\displaystyle x=0}$, ce qui est impossible sur la sphère.

Finalement, soit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$. Alors, ${\displaystyle {\frac {x}{\|x\|_{\infty }}}\in {\mathcal {S}}}$, ce qui donne :

${\displaystyle m\leq N\left({\frac {x}{\|x\|_{\infty }}}\right)}$

ou encore :

${\displaystyle m\|x\|_{\infty }\leq N(x)}$.

Cette inégalité restant vraie pour ${\displaystyle x=0}$, on a fini de montrer que ${\displaystyle N}$ est équivalente à la norme infini.

Considérons maintenant un ℝ-espace vectoriel E de dimension finie n. Alors, E est isomorphe à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Notons ${\displaystyle \phi$ :\mathbb {R} ^{n}\to E} un tel isomorphisme.

Soient ${\displaystyle N_{1}}$ et ${\displaystyle N_{2}}$ deux normes sur E ; on vérifie que ${\displaystyle N_{1}\circ \phi }$ et ${\displaystyle N_{2}\circ \phi }$ sont des normes sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, qui sont donc équivalentes.

Il existe donc ${\displaystyle C_{1},C_{2}>0}$ tels que ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\quad C_{1}N_{1}\circ \phi (x)\leq N_{2}\circ \phi (x)\leq C_{2}N_{1}\circ \phi (x)}$. La surjectivité de ${\displaystyle \phi }$ permet alors de conclure.

Notons ${\displaystyle (e_{i})_{1\leq i\leq n}}$ un base de ${\displaystyle E}$, et définissons ${\displaystyle N:E\to \mathbb {R} }$ par :

${\displaystyle \forall x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}\in E\quad N(x)=\|(x_{1},\cdots ,x_{n})\|_{\infty }}$.

On vérifie que ${\displaystyle N}$ est une norme sur ${\displaystyle E}$. Puisque ${\displaystyle E}$ est de dimension finie, on sait alors que ${\displaystyle N}$ et ${\displaystyle \|\cdot \|_{E}}$ sont équivalentes, c.-à-d. définissent la même topologie.

Or

${\displaystyle \|f(x)\|_{F}\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\|f(e_{i})\|_{F}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}\|f(e_{i})\|_{F}\right)N(x)}$,

ce qui prouve la continuité de ${\displaystyle f}$.

Soit ${\displaystyle (F,\|~\|_{F})}$ un e.v.n. réel de dimension finie ${\displaystyle n}$, alors il existe un isomorphisme de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dans ${\displaystyle F}$ que l'on note ${\displaystyle \phi }$.

La proposition précédente nous assure que les bijections ${\displaystyle \phi$ :(\mathbb {R} ^{n},\|~\|_{\infty })\to (F,\|~\|_{F})} et ${\displaystyle \phi ^{-1}}$ sont uniformément continues.

Ainsi, ${\displaystyle (F,\|~\|_{F})}$ est complet car ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\|~\|_{\infty })}$ l'est.

Nous avons déjà vu que dans un e.v.n. quelconque, toute partie compacte est fermée et bornée.

Réciproquement, soit A une partie fermée et bornée d'un ℝ-e.v.n. E de dimension finie n. Alors, E est isomorphe à ℝⁿ. Notons ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} ^{n}}$ un tel isomorphisme. Les applications ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle f^{-1}}$ sont linéaires continues (quelles que soient les normes choisies sur E et sur ℝⁿ, puisque toutes les normes sur un ℝ-e.v. de dimension finie sont équivalentes). Ainsi, ${\displaystyle f(A)}$ est une partie fermée et bornée de ℝⁿ ; elle est donc compacte, si bien que son image ${\displaystyle A}$ par l'application continue ${\displaystyle f^{-1}}$ est compacte.

Soit E un ℝ-e.v.n.. Sa boule unité fermée ${\displaystyle B_{F}=B_{F}(0,1)}$ est compacte d'après le théorème précédent si E est de dimension finie.

Réciproquement, supposons que ${\displaystyle B_{F}}$ est compacte.

La famille ${\displaystyle (B(x,1/2))_{x\in B_{F}}}$ est un recouvrement ouvert de ${\displaystyle B_{F}}$ dont on peut extraire un sous-recouvrement fini ${\displaystyle (B(x_{i},1/2))_{1\leq i\leq n}}$.

Notons alors F le sous-espace engendré par la famille ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$. Par construction, ${\displaystyle B_{F}\subset F+{\frac {1}{2}}B_{F}}$ donc (par récurrence) ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad B_{F}\subset F+{\frac {1}{2^{n}}}B_{F}}$, c.-à-d. ${\displaystyle B_{F}\subset {\overline {F}}}$. Mais F étant de dimension finie, il est fermé. Par conséquent, ${\displaystyle B_{F}\subset F}$, si bien que ${\displaystyle E=\cup _{t>0}tB_{F}\subset \cup _{t>0}tF=F}$. Ceci prouve que E est égal à F donc est de dimension finie.