Par définition, ${\displaystyle f(A)}$ est une limite de polynômes en ${\displaystyle A}$ (les sommes partielles de la série entière). Puisque ${\displaystyle \operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )}$ est de dimension finie, le sous-espace vectoriel ${\displaystyle \mathbb {C} [A]}$ est fermé.

Soit ${\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )}$. Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ tel que pour tout entier ${\displaystyle k>N}$, ${\displaystyle A-{\frac {1}{k}}\mathrm {I} _{n}\in \mathrm {GL} _{n}(K)}$, ce qui prouve que ${\displaystyle A}$ est adhérent à ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(K)}$.

1. Soit ${\displaystyle m'}$ strictement compris entre ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle L}$. Puisque ${\displaystyle m'<L}$, on a ${\displaystyle f(x)\geq m'}$ pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ de norme suffisamment grande, disons supérieure à un certain réel ${\displaystyle R}$. Puisque ${\displaystyle m'>m}$, ${\displaystyle m}$ est aussi la borne inférieure de ${\displaystyle f}$ restreinte à la boule fermée ${\displaystyle {\overline {B}}(0,R)}$. Puisque cette boule est compacte et que ${\displaystyle f}$ est continue, cette borne inférieure est atteinte.
2. Si ${\displaystyle m<L}$ alors ${\displaystyle f}$ a un minimum. De même, si ${\displaystyle M>L}$ alors ${\displaystyle f}$ a un maximum (en raisonnant sur ${\displaystyle -f}$). Enfin, si ${\displaystyle m=M}$ alors ${\displaystyle f}$ est constante.
3. D'après la question 1, si ${\displaystyle m<L}$ alors ${\displaystyle m>-\infty }$. Si ${\displaystyle m=L}$ (supposée finie), on a aussi ${\displaystyle m>-\infty }$. Donc ${\displaystyle f}$ est minorée. On démontre de même (ou on le déduit en remplaçant ${\displaystyle f}$ par ${\displaystyle -f}$) que ${\displaystyle f}$ est majorée.

1. ${\displaystyle f^{-1}(x)=\left(x-g(x)e,g(x)\right)}$ où ${\displaystyle g}$ est une forme linéaire de noyau ${\displaystyle H}$ donc continue (Exercice 1-2). Par conséquent, ${\displaystyle f^{-1}:E\to H\times \mathbb {R} }$ est continue.
2. Pour ${\displaystyle n=0}$, la proposition est triviale. Supposons-la vérifiée à l'ordre ${\displaystyle n}$ et montrons qu'alors, elle l'est encore à l'ordre ${\displaystyle n+1}$. Soit donc ${\displaystyle (E,\|\cdot \|)}$ un e.v.n. réel de dimension ${\displaystyle n+1}$, ${\displaystyle \left(e_{0},\dots ,e_{n}\right)}$ une base de ${\displaystyle E}$, et ${\displaystyle H}$ l'hyperplan de base ${\displaystyle \left(e_{1},\dots ,e_{n}\right)}$, complet par hypothèse de récurrence donc fermé dans ${\displaystyle E}$, ce qui permet d'appliquer la question précédente : les bijections linéaires ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle f^{-1}}$ sont continues. Par conséquent :
   • L'e.v.n. ${\displaystyle (E,\|\cdot \|)}$ est complet car ${\displaystyle \left(H\times \mathbb {R} ,\|\cdot \|'\right)}$ l'est, puisque ${\displaystyle \left(H,\|\cdot \|_{H}\right)}$ l'est (par hypothèse de récurrence) et ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ,|\cdot |\right)}$ aussi ;
   • La norme ${\displaystyle \|\cdot \|}$ est équivalente à la norme
     ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}x_{i}e_{i}\mapsto \max \left(\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}\right\|_{H},\left|x_{0}\right|\right)}$,
     elle-même équivalente (par hypothèse de récurrence) à la norme
     ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}x_{i}e_{i}\mapsto \max \left(\left\|\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)\right\|_{\infty },\left|x_{0}\right|\right)=\left\|\left(x_{0},\dots ,x_{n}\right)\right\|_{\infty }}$.

${\displaystyle 1\Longleftrightarrow \forall M>0\quad \exists R>0\quad f^{-1}({\overline {B(0,M)}})\subset {\overline {B(0,R)}}\Longleftrightarrow 2}$.

${\displaystyle 2\Rightarrow 3}$ car tout compact ${\displaystyle K}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est fermé dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle f^{-1}(K)}$ est alors fermé dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

${\displaystyle 3\Rightarrow 2}$ car une partie de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est bornée si et seulement si elle est incluse dans un compact.

${\displaystyle \mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )}$ est fermé dans ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}$, comme image réciproque du fermé ${\displaystyle \{\mathrm {I} _{n}\}}$ de ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}$ par l'application continue ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} ),\;M\mapsto {}^{t}\!MM}$.

Il est de plus borné car ${\displaystyle \forall M\in \mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\quad \sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}M_{i,j}^{2}\right)=\sum _{i=1}^{n}\left({}^{t}\!MM\right)_{i,i}=n}$.

Il est donc compact.