La question étant ambiguë, on se contentera d'examiner les trois cas où la norme choisie sur l'espace ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ d'arrivée est la même que sur l'espace ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ de départ (sinon, il y aurait 6 autres cas à traiter).

1. ${\displaystyle u}$ est une similitude (indirecte) de rapport ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (c.-à-d. que ${\displaystyle \|u(x,y)\|_{2}={\sqrt {2}}\|(x,y)\|_{2}}$) donc pour ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$, ${\displaystyle |\!|\!|u|\!|\!|={\sqrt {2}}}$.
2. Pour ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$, ${\displaystyle |\!|\!|u|\!|\!|=2}$ car ${\displaystyle \max(|x+y|,|x-y|)\leq |x|+|y|\leq 2\max(|x|,|y|)}$, avec égalité par exemple pour ${\displaystyle (x,y)=(1,1)}$.
3. Pour ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$, ${\displaystyle |\!|\!|u|\!|\!|=2}$ car ${\displaystyle |x+y|+|x-y|\leq |x|+|y|+|x|+|y|=2(|x|+|y|)}$, avec égalité par exemple pour ${\displaystyle (x,y)=(1,0)}$.

1. Pour ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$, ${\displaystyle |\!|\!|A|\!|\!|=6}$ car ${\displaystyle |x+2y|+|3x+4y|\leq |x|+2|y|+3|x|+4|y|\leq 6(|x|+|y|)}$, avec égalité par exemple pour ${\displaystyle (x,y)=(0,1)}$.
2. Pour ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$, ${\displaystyle |\!|\!|A|\!|\!|=7}$ car ${\displaystyle \max(|x+2y|,|3x+4y|)\leq 3|x|+4|y|\leq 7\max(|x|,|y|)}$, avec égalité par exemple pour ${\displaystyle x=y=1}$.

Pour un énoncé général, voir la proposition dans Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices#Norme subordonnée.

• La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de ${\displaystyle \varphi }$.
• Soit ${\displaystyle f\in E}$. On a

  ${\displaystyle |\varphi (f)|=\left|\int _{-1}^{1}{\frac {t\,f(t)}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t\right|\leq \|f\|_{\infty }\int _{-1}^{1}{\frac {|t|}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t=\|f\|_{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {2t}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t=\|f\|_{\infty }\ln 2}$.

  Conclusion : ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {L}}(E,\mathbb {R} )}$ et ${\displaystyle |\!|\!|\varphi |\!|\!|\leq \ln 2}$.

• On pose pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$ la fonction ${\displaystyle f_{n}\in E}$ qui :
  • vaut ${\displaystyle -1}$ sur ${\displaystyle \left[-1,-{\frac {1}{n}}\right]}$ ;
  • vaut ${\displaystyle 1}$ sur ${\displaystyle \left[{\frac {1}{n}},1\right]}$ ;
  • est affine sur ${\displaystyle \left[-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right]}$.

  On a ${\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }=1}$ et l'on montre que ${\displaystyle |\varphi (f_{n})|\to \ln 2}$.

Finalement, ${\displaystyle |\!|\!|\varphi |\!|\!|=\ln 2}$.

Le singleton ${\displaystyle \{0\}}$ est fermé dans ${\displaystyle K}$ donc si ${\displaystyle u}$ est continue alors ${\displaystyle \ker u=u^{-1}\left(\{0\}\right)}$ est fermé dans ${\displaystyle E}$.

Réciproquement, supposons que ${\displaystyle u}$ n'est pas continue et démontrons que ${\displaystyle \ker u}$ n'est pas fermé. Par hypothèse, il existe une suite ${\displaystyle (x_{n})}$ de la boule unité de ${\displaystyle E}$ telle que ${\displaystyle |u(x_{n})|\to +\infty }$. À partir d'un certain rang ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle u(x_{n})\neq 0}$, ce qui permet de définir

${\displaystyle y_{n}:=x_{N}-{\frac {u(x_{N})}{u(x_{n})}}x_{n}}$.

Par construction, la suite ${\displaystyle (y_{n})_{n\geq N}}$ est à valeurs dans ${\displaystyle \ker u}$ et converge vers ${\displaystyle x_{N}\notin \ker u}$, ce qui conclut.