Notations et rappels

L'ensemble ${\displaystyle K}$ est un corps commutatif, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$ et ${\displaystyle K^{n,m}}$, l'espace vectoriel des matrices à ${\displaystyle n}$ lignes et ${\displaystyle m}$ colonnes à coefficients dans ${\displaystyle K}$. Si ${\displaystyle \mathbf {A} \in K^{n,m}}$ a pour coefficients ${\displaystyle a_{ij}}$, on notera :

${\displaystyle \mathbf {A} ={(a_{ij})}_{i,j}\qquad i\in \{1,\ldots ,n\},\quad j\in \{1,\ldots ,m\}}$

où ${\displaystyle i}$ désigne l'indice de ligne et ${\displaystyle j}$, l'indice de colonne. La matrice ${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}}$ désigne la transposée de la matrice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ : ${\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\in K^{m,n}}$ et :

${\displaystyle a_{ij}^{T}=a_{ji}\qquad i=1,\ldots ,n,\quad j=1,\ldots ,m}$.

La matrice ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$ est l'adjointe de la matrice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ :

${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}={\bar {\mathbf {A} }}^{T}}$

Lorsque ${\displaystyle m=n}$ et ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {C} ^{n,n}}$, si ${\displaystyle \lambda _{i}}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ sont les valeurs propres dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ de ${\displaystyle \mathbf {A} }$ alors le rayon spectral de ${\displaystyle \mathbf {A} }$ est :

${\displaystyle \rho (\mathbf {A} )=\max _{i=1,\ldots ,n}|\lambda _{i}|}$

et sa trace est :

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}$.

${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {C} ^{n,n}}$ est dite

• positive si ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} ^{n}:\quad (\mathbf {A} x,x)\geq 0}$ ;
• définie positive si ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} ^{n},\quad x\neq 0:\quad (\mathbf {A} x,x)>0}$ ;

La matrice ${\displaystyle \mathbf {I} }$ désigne la matrice identité dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n,n}}$. De plus, une matrice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ est dite

• diagonale si ${\displaystyle a_{ij}=0}$ pour ${\displaystyle i\neq j}$ ;
• bande ${\displaystyle (p,q)}$ si ${\displaystyle a_{ij}=0}$ pour ${\displaystyle i\geq j+p}$ et ${\displaystyle j\geq i+q}$.

Elle est dite ${\displaystyle (2l+1)}$-diagonale si c’est une matrice bande ${\displaystyle (l+1,l+1)}$, c'est-à-dire ${\displaystyle a_{ij}=0}$ pour ${\displaystyle i\geq j+l+1}$ et ${\displaystyle j\geq i+l+1}$. Il est aussi important de se souvenir des propriétés suivantes :

• une matrice ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {C} ^{n,n}}$ hermitienne, c'est-à-dire telle que ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{*}}$, a toutes ses valeurs propres réelles et il existe une base de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ de vecteurs propres de ${\displaystyle \mathbf {A} }$ : ${\displaystyle \mathbf {A} }$ est donc diagonalisable. En particulier, une matrice réelle symétrique a toutes ses valeurs propres réelles ;
• une matrice définie positive a toutes ses valeurs propres strictement positives ;
• pour une matrice ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {C} ^{n,n}}$, il existe une matrice inversible ${\displaystyle \mathbf {P} \in \mathbb {C} ^{n,n}}$ telle que la matrice ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} }$ soit diagonale par blocs, chaque bloc étant une sous-matrice de Jordan ${\displaystyle \mathbf {J} _{p}}$ d'ordre ${\displaystyle n_{p}}$, c'est-à-dire telle que :

${\displaystyle \mathbf {J} _{p}={\begin{pmatrix}\lambda _{p}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{p}&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\lambda _{p}&1&0\\\vdots &&\ddots &\lambda _{p}&1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda _{p}\end{pmatrix}}}$.

Normes matricielles

Définition : norme matricielle

On appelle norme matricielle sur ${\displaystyle K^{n,n}}$, toute application de ${\displaystyle K^{n,n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ notée ${\displaystyle \mathbf {A} \mapsto ||\mathbf {A} ||}$ possédant les propriétés suivantes :

1. ${\displaystyle ||\cdot ||}$ est une norme ;
2. ${\displaystyle \forall \mathbf {A} ,\mathbf {B} \in K^{n,n}\quad ||\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ||\leq ||\mathbf {A} ||\;||\mathbf {B} ||}$.

Exemple : norme de Schur

Si ${\displaystyle \mathbf {A} ={(a_{ij})}\in K^{n,n}}$, sa norme de Schur, ou de Frobenius, est définie par :

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|_{S}={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}}$.

Norme subordonnée

Rappelons (cf. § « Cas particulier des applications linéaires » du cours sur les espaces vectoriel normés) qu'étant donnée une norme ${\displaystyle ||\cdot ||}$ sur l'espace vectoriel ${\displaystyle K^{n}}$, l’application encore notée ${\displaystyle ||\cdot ||}$ et définie par :

${\displaystyle \mathbf {A} \in K^{n,n}\rightarrow ||\mathbf {A} ||=\sup _{x\in K^{n},x\neq 0}{\frac {||\mathbf {A} x||}{||x||}}}$

est une norme matricielle.

Cette norme, dite subordonnée à la norme vectorielle ${\displaystyle ||\cdot ||}$ donnée, vérifie :

${\displaystyle ||\mathbf {A} ||=\sup _{0\leq ||x||\leq 1}||\mathbf {A} x||=\sup _{\|x\|=1}||\mathbf {A} x||}$.

Notations

Pour ${\displaystyle p}$ tel que ${\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }$, on notera ${\displaystyle ||\mathbf {A} ||_{p}}$ la norme matricielle subordonnée à la norme vectorielle ${\displaystyle ||x||_{p}}$ définie par :

• si ${\displaystyle 1\leq p<+\infty }$,

  ${\displaystyle ||x||_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$ ;

• si ${\displaystyle p=+\infty }$,

  ${\displaystyle ||x||_{\infty }=\max _{i=1,\ldots ,n}|x_{i}|}$.

Proposition

Si ${\displaystyle \mathbf {A} =(a_{ij})\in K^{n,n}}$, nous avons :

• ${\displaystyle ||\mathbf {A} ||_{1}=\max _{j=1,\ldots ,n}\sum _{i=1}^{n}|a_{ij}|}$ ;
• ${\displaystyle ||\mathbf {A} ||_{2}={\bigl (}\rho (\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} ){\bigr )}^{1/2}}$ ;
• ${\displaystyle ||\mathbf {A} ||_{\infty }=\max _{i=1,\ldots ,n}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|}$.

Remarques

1. Une norme matricielle n’est pas nécessairement subordonnée à une norme vectorielle, comme la norme de Schur pour laquelle ${\displaystyle ||\mathbf {I} ||_{S}={\sqrt {n}}}$.
2. Par définition d'une norme subordonnée, nous avons :

   ${\displaystyle \forall x\in K^{n},\quad \forall \mathbf {A} \in K^{n,n},\quad ||\mathbf {A} x||\leq \|\mathbf {A} \|\;||x||}$.

   Inversement, étant donnée une norme matricielle ${\displaystyle ||\cdot ||}$ sur ${\displaystyle K^{n,n}}$, il existe toujours une norme vectorielle ${\displaystyle ||\cdot ||}$ telle que la majoration ci-dessus soit vérifiée. On peut choisir par exemple :

   ${\displaystyle \forall x\in K^{n},\quad ||x||=\left\|{\begin{pmatrix}x_{1}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\x_{n}&0&\cdots &0\\\end{pmatrix}}\right\|}$.

   L'axiome 2 de la définition des normes matricielles implique en effet que ${\displaystyle ||\mathbf {A} x||\leq \|\mathbf {A} \|\;||x||}$.

Début d’un théorème

Théorème

Soit ${\displaystyle \mathbf {A} \in K^{n,n}}$ alors pour toute norme matricielle ${\displaystyle ||\cdot ||}$, nous avons ${\displaystyle \rho (\mathbf {A} )\leq ||\mathbf {A} ||}$.

Fin du théorème

En général, ${\displaystyle \rho (\mathbf {A} )\neq ||\mathbf {A} ||}$. Cependant, si ${\displaystyle \mathbf {A} }$ est hermitienne alors ${\displaystyle \rho (\mathbf {A} )=||\mathbf {A} ||_{2}}$ car ${\displaystyle ||\mathbf {A} ||_{2}={\bigl (}\rho (\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} ){\bigr )}^{1/2}}$ (cf. proposition ci-dessus), or ${\displaystyle \lambda _{i}(\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} )={\bigl (}\lambda _{i}(\mathbf {A} ){\bigr )}^{2}}$.

Début d’un théorème

Théorème

Soit ${\displaystyle \mathbf {A} \in K^{n,n}}$. Pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, il existe une norme matricielle ${\displaystyle ||\cdot ||}$ subordonnée à une norme vectorielle telle que ${\displaystyle ||\mathbf {A} ||\leq \rho (\mathbf {A} )+\varepsilon }$.

Fin du théorème