On suppose dans ce chapitre que E un espace hermitien de dimension n, non réduit à {0}.
Existence de bases
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Il existe une base orthonormée de E.
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Soit une famille orthonormale de vecteurs de E ()
Alors cette famille peut être complétée en une base orthonormée de E
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Soit F un sous-espace vectoriel de E.
Alors :
Écriture matricielle
On munit E d'une base orthonormée
Écriture vectorielle du produit scalaire
Soit .
Il existe des coordonnées pour x et y dans la base :
- et
On pose les vecteurs et
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Matrice d'une forme hermitienne
Soient :
- la forme hermitienne associée à ƒ
- et deux vecteurs de E
On a :
![](../../I/Emblem-equal-defined.svg.png.webp)
On pose la matrice de la forme sesquilinéaire à symétrie hermitienne ƒ dans la base .
On dira par extension que A est aussi la matrice de la forme hermitienne associée à ƒ dans la base
![](../../I/Emblem-important-blue.svg.png.webp)
Donc
![](../../I/Emblem-equal-defined.svg.png.webp)
Soit
- M est dite hermitienne
- ssi
- ssi
On pose et
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Isomorphisme canonique avec le dual
![](../../I/Dobry_Artykul-MK.svg.png.webp)
On pose l'application
est un isomophisme sesquilinéaire entre E et son dual.
Soit
- Si
Donc est injective.
De plus, est une application sesquilinéaire entre deux espaces de même dimension n, donc injective implique surjective.
Finalement, est un isomorphisme.
- →
Nous verrons en annexe l’intérêt de cet isomorphisme pour l’application à la mécanique quantique, à travers de la notation bra-ket.