Une application ${\displaystyle u:E\to F}$ est dite linéaire si elle vérifie (pour tous vecteurs ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle E}$ et tout scalaire ${\displaystyle \lambda }$) :

${\displaystyle u(\lambda x)=\lambda u(x)\quad {\text{et}}\quad u(x+y)=u(x)+u(y)}$

ou encore, si elle vérifie :

${\displaystyle u(\lambda x+y)=\lambda u(x)+u(y)}$.

L'ensemble des applications linéaires de E dans F (aussi appelées homomorphismes ou morphismes de E vers F) est noté ${\displaystyle \operatorname {L} \left(E,F\right)}$.

On suppose dans cet exemple que ${\displaystyle E=F^{A}}$ (l'espace vectoriel des applications d'un ensemble fixé ${\displaystyle A}$ dans ${\displaystyle F}$) et que ${\displaystyle a\in A}$.

Alors, l'application

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}u&:&E&\rightarrow &F\\~&~&f&\mapsto &f(a)\end{array}}}$

est linéaire. En effet :

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall (\lambda ,f,g)\in K\times E^{2}\quad u(\lambda f+g)&=(\lambda f+g)(a)\\&=\lambda f(a)+g(a)\\&=\lambda u(f)+u(g).\end{aligned}}}$

On appelle :

• endomorphisme de E toute application linéaire de E dans E ;
• isomorphisme de E vers F toute bijection linéaire de E dans F ;
• automorphisme de E tout endomorphisme bijectif de E, ou encore, tout isomorphisme de E dans E.
• forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans K.

• L'ensemble L(E, E) des endomorphismes de E se note plus simplement L(E).
• L'ensemble des automorphismes de E s’appelle le groupe linéaire de E et se note GL(E).
• L'ensemble L(E, K) des formes linéaires sur E se note plus simplement E* et porte le nom de dual de E. ( Voir le cours sur la dualité pour une étude plus détaillée.)

Soit ${\displaystyle k\in K}$. L'application

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}h&:&E&\rightarrow &E\\~&~&x&\mapsto &kx\end{array}}}$

est linéaire car

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall (\lambda ,x,y)\in K\times E^{2},~h(\lambda x+y)&=k(\lambda x+y)=k\lambda x+ky\\&=\lambda (kx)+(ky)\\&=\lambda h(x)+h(y)\end{aligned}}}$.

C'est donc un endomorphisme de E, appelé « homothétie de rapport k ». Si de plus k ≠ 0, h est un automorphisme de E.

On suppose dans cet exemple ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ et ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}$, muni de son produit scalaire canonique.

Soit ${\displaystyle e\in E}$. Alors, l'application

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}p&:&E&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\langle x,e\rangle \end{array}}}$

est linéaire. En effet :

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall (\lambda ,x,y)\in \mathbb {R} \times E^{2},~p(\lambda x+y)&=\langle \lambda x+y,e\rangle \\&=\lambda \langle x,e\rangle +\langle y,e\rangle \\&=\lambda p(x)+p(y)\end{aligned}}}$.

De plus, p est à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$. C'est donc une forme linéaire sur E.

Soit ${\displaystyle u\in \operatorname {L} (E,F)}$. On appelle :

• image de u l’ensemble ${\displaystyle \{u(x)\mid x\in E\}}$, noté Im(u).
• noyau de u l’ensemble ${\displaystyle \{x\in E\mid u(x)=0\}}$, noté Ker(u).

On suppose à nouveau ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ et ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}$, muni d'une base orthonormée ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$, et l'on considère l'application linéaire

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}p_{1}&:&E&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\langle x,e_{1}\rangle .\end{array}}}$

• Son noyau est l’hyperplan des vecteurs orthogonaux à ${\displaystyle e_{1}}$, c'est-à-dire ${\displaystyle \operatorname {Ker} \left(p_{1}\right)=\{x\in E\mid \langle x,e_{1}\rangle =0\}=\operatorname {Vect} \left\{e_{2},\dots ,e_{n}\right\}}$.
• Son image est ${\displaystyle \mathrm {Im} \left(p_{1}\right)=\mathbb {R} }$.

Soit ${\displaystyle u\in \operatorname {L} (E,F)}$.

1. L'image réciproque par u d'un sous-espace vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E ;
2. L'image directe par u d'un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F.

1. Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E.
2. Im(u) est un sous-espace vectoriel de F.