Nous allons commencer par introduire quelques notions qui généralisent la notion de produit scalaire dans le plan ou dans l'espace vue aux niveaux 11 et 12.
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Une application définie sur est appelée un produit scalaire sur si c’est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur E :
- forme : ;
- symétrique : ;
- bilinéaire : linéaire par rapport à ses deux variables, ce qui équivaut, compte tenu de la symétrie, à la linéarité par rapport à la seconde variable
- ;
- définie positive : .
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On appelle espace euclidien un -espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire.
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On appelle norme induite par le produit scalaire l’application .
Plus généralement, on dit qu’une norme est euclidienne si elle est induite par un produit scalaire.
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Dans un espace euclidien, on a l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
- .
On a égalité (si et) seulement si et sont colinéaires.
La parenthèse « (si et) » est facile à vérifier, et dans le cas , l'énoncé tout entier est immédiat.
Supposons maintenant donc et posons
- ).
En développant (par définition de la norme et par bilinéarité et symétrie du produit scalaire), on obtient :
Puisque , on a donc , ou encore : .
Enfin,
- .
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muni du produit scalaire usuel .
- La norme associée est la norme euclidienne :
- L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :
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Deux vecteurs et de sont dits orthogonaux si .