Paradoxe du singe savant

On pourrait voir dans cette métaphore davantage une lapalissade qu'un paradoxe : si toutes les séquences peuvent être créées, cela signifie en effet... qu'aucune ne peut être exclue, et donc pas davantage Hamlet qu'une autre. Cependant, le résultat en question est plus précis, car on pourrait penser que la probabilité pour qu'une séquence donnée ayant du sens apparaisse est nulle ou du moins extrêmement faible ; or, au contraire, il est presque sûr que toute séquence finie finira par apparaître. Ce qui fait réellement sens, et ne heurte pas davantage le « bon sens », est que les séquences ayant du sens pour un observateur donné (parlant une ou plusieurs langues données, et doté d'une culture lui permettant de reconnaître des citations classiques) sont beaucoup plus rares que les autres.

On trouve des traces de ce genre de déclaration dans les œuvres d'Aristote, Blaise Pascal, Jean-Jacques Rousseau[3] et Jonathan Swift jusqu'à son évolution vers la version avec un dactylographe. Ce résultat fut initialement présenté par Émile Borel en 1909 dans son livre de probabilités.

Il est à noter que la conformité d'un texte frappé à un autre texte donné (ici, Hamlet) ne peut être établie qu'en possédant ce second texte. Le processus est donc bien entendu inutilisable en matière de création littéraire (ou encore de prédiction d'événements) ; c'est le thème traité par Jorge Luis Borges dans sa nouvelle La Bibliothèque de Babel.

Des variantes de ce théorème incluent plusieurs, voire un nombre infini, de dactylographes et le texte à écrire passe d'une seule phrase à tous les livres d'une bibliothèque. En France on parle de tous les livres de la Bibliothèque nationale de France, en anglais de l'œuvre complète de William Shakespeare.

D'après une formulation populaire du théorème, une infinité de singes dactylographiant pendant une durée infinie produiront un texte donné. Insister sur les deux infinis est cependant excessif. Un seul singe immortel qui tape indéfiniment dactylographiera presque sûrement n'importe quel texte fini, et même une infinité de fois.

Commençons par préciser ce que l'on entend par « événements indépendants » (ici, les touches choisies successivement par le singe, qui sont censées être choisies « indépendamment » les unes des autres, c’est-à-dire que le choix de la lettre suivante ne dépend pas des lettres précédentes ; c'est le cas par exemple si le singe a une mémoire de poisson rouge). Deux événements sont dits indépendants si la probabilité pour que tous deux se produisent est égale au produit des probabilités pour que chaque événement se produise. Par exemple, si la probabilité pour qu’il pleuve sur Sydney un jour particulier est 0,3 et la probabilité pour qu’il y ait un tremblement de terre à San Francisco un jour particulier est 0,8, alors la probabilité pour que tous les deux se produisent le même jour est égale à 0,3 × 0,8 = 0,24.

Supposons maintenant que la machine à écrire soit pourvue de 50 touches, et que le mot à taper soit « banane ». En tapant au hasard, il y a une chance sur 50 que la première lettre tapée soit b ; de même, il y a une chance sur 50 que la deuxième lettre tapée soit a, et ainsi de suite. Ces événements sont indépendants, et ainsi il y a une chance sur 50⁶ que les six lettres du mot « banane » soient tapées. Pour la même raison, il y a à nouveau une chance sur 50⁶ que les six lettres suivantes soient celles du mot « banane », et ainsi de suite.

La probabilité de ne pas taper « banane » dans un de ces blocs consécutifs de 6 lettres est de ${\displaystyle 1-\left({\frac {1}{50}}\right)^{6}}$. Comme chaque bloc est tapé indépendamment, la probabilité ${\displaystyle P_{n}}$ qu'il n'y ait pas « banane » parmi les n premiers blocs de 6 lettres est ${\displaystyle P_{n}=\left(1-\left({\frac {1}{50}}\right)^{6}\right)^{n}}$.

Quand n devient très grand, ${\displaystyle P_{n}}$ se rapproche de 0 (c'est une suite géométrique). Pour un entier n égal à un million, ${\displaystyle P_{n}}$ est égal à 0,9999, pour un n égal à 10 milliards, ${\displaystyle P_{n}}$ vaut 0,53 et pour un n égal à 100 milliards, il vaut 0,0017. La probabilité ${\displaystyle P_{n}}$ tend vers zéro quand n devient infini.

Ainsi, la probabilité que le singe n'ait pas tapé « banane » après ${\displaystyle 6n}$ frappes est toujours plus petite que ${\displaystyle P_{n}}$ (${\displaystyle P_{n}}$ est la probabilité que le singe n'ait pas tapé « banane » dans un des blocs consécutifs de 6 lettres ; si par exemple le singe commence en tapant « abanane », il a effectivement tapé « banane », mais il n'a pas tapé « banane » dans un des blocs qu'on a considérés). Comme ${\displaystyle P_{n}}$ tend vers 0, en passant à la limite, on trouve :

La probabilité que le singe ne tape jamais « banane » vaut 0.

C'est dire que, presque sûrement, le singe tape le mot « banane » à un moment. (On peut même dire qu'il tape le mot « banane » dans un de nos blocs de 6 caractères.)

L'argument précédent reste valable pour toute chaîne de caractères finie, et pour toute taille de clavier.

Pourquoi dire « presque sûrement » alors que l'événement est de probabilité égale à 1 ? Comment un événement possible peut-il être de probabilité nulle ? Il y a une subtilité due au fait que l'ensemble des résultats possibles (ici l'ensemble de toutes les chaînes de caractères infinies) est infini. Ainsi par exemple, l'événement « le singe ne tape que des "a" » fait partie des événements possibles, mais est de probabilité nulle[4], tout comme l'événement « le singe ne tape jamais le mot "banane" », comme on vient de le voir.

Sans tenir compte de la ponctuation, ni des espaces, ni de la casse, un singe a une chance sur 26 de dactylographier correctement la première lettre du mot Hamlet. Il a une chance sur 676 (26 fois 26) de dactylographier les deux premières lettres. Puisque la probabilité diminue exponentiellement, pour 20 lettres elle ne sera seulement que d’une chance sur 26²⁰ = 19 928 148 895 209 410 000 000 000 000, à peu de chose près égale à la probabilité d'acheter consécutivement 4 billets de loterie et de gagner le gros lot à chaque fois. Dans le cas du texte entier de Hamlet, les probabilités sont tellement négligeables qu’elles sont difficilement représentables pour un humain. Le texte de Hamlet, même dépouillé de toute ponctuation, contient bien plus de 130 000 lettres. On peut estimer la probabilité pour un singe tapant au hasard d'obtenir le texte de Hamlet à environ 1/(5×10²⁶⁷⁰⁰⁰) ; c'est un nombre commençant par 0, suivi d'une virgule et de 267 000 zéros environ avant le premier chiffre différent de zéro.

À de telles échelles, on préfère par commodité travailler avec des probabilités en dB (décibel ou décibans[5] permettant de mieux situer les ordres de grandeur. Le choix d'un signe parmi 32 représente 5 bits, soit -15 dB (-5 × 10 log₁₀(5)). Celui d'une suite de 10 caractères -150 dB (en théorie de la fiabilité, des -80 dB sont courants, et un petit ouvrage de 200 000 caractères... 3 millions de décibans !).

Gian-Carlo Rota écrivit dans un manuel de probabilité (inachevé lorsqu’il mourut) :

« Si le singe pouvait taper sur son clavier une touche par nanoseconde, alors la durée d'attente pour que le singe dactylographie complètement Hamlet serait si longue que l’âge estimé de l’univers paraîtrait insignifiant par comparaison… et ce n'est pas une bonne méthode pour écrire les pièces de théâtre. »

En physique, la force de l'« argument des singes » ne se situe pas dans la probabilité pour que les singes produisent éventuellement quelque chose d’intelligible, mais d'une part dans la réalité pratique qu'ils ne le feront jamais, et surtout dans le fait que s'ils en écrivaient une partie, on ne pourrait l'identifier comme telle qu'en la connaissant déjà. N'importe quel processus physique moins probable que la réussite de tels singes, est, dans le cours d'une vie humaine, et même relativement à l'âge de l'univers, impossible ; c'est là une base statistique liée au second principe de la thermodynamique.

Cet argument est parfois utilisé comme objection contre l'abiogenèse[6]. La réponse est que la vie n'a pas à sortir toute armée de l'univers comme Minerve de la tête de Jupiter, mais que la vie — contrairement aux œuvres littéraires en général — a émergé par un processus d'évolution. Il faut donc connaître la taille des plus petites molécules autoreproductrices (prions, ARN…) et calculer leur probabilité d'apparition compte tenu des autres facteurs : volume et concentration de la présumée soupe primitive, surface de travail (a priori toutes les planètes de tous les systèmes de toutes les galaxies de tout cet univers), nombre et fréquence des tirages multipliés par le temps. Une fois la séquence amorcée, le mécanisme de sélection naturelle assure sa complexité progressive aussi longtemps qu'existent des ressources en énergie. Néanmoins le tirage initial est en effet proche d'un problème du singe dactylographe pour un texte relativement court. Concernant sa possible rareté malgré la taille de l'univers, voir Paradoxe de Fermi.

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Certains Américains prétendent, bien que ce soit fortement improbable, que l'utilisation par Borel des singes et des machines à écrire dans son théorème fut inspirée d’une argumentation de Thomas Henry Huxley le 30 juin 1860. Huxley en aurait parlé au cours d'une discussion avec l'évêque anglican d'Oxford, Samuel Wilberforce, tenue lors d'une réunion de l’association britannique pour l'avancement de la Science à Oxford, de laquelle Wilberforce était vice-président, ce dernier ayant été ébloui par la publication de Charles Darwin sur l'Origine des espèces sept mois plus tôt, en novembre 1859.

Aucune transcription de la discussion n'existe, personne actuellement ne peut en témoigner, et aucun mémoire de Huxley n'inclut une quelconque référence au théorème du singe savant.

Certains supposent que ce rapprochement hypothétique de la discussion avec le théorème du singe savant est probablement un mythe urbain dont l’origine provient du fait que cette discussion ait dégénéré en parlant des singes : l'évêque demanda si Huxley descendait d'un singe du côté de sa grand-mère ou de son grand-père, et Huxley répondit qu'il préférait descendre plutôt d'un singe que de quelqu'un comme l’évêque, capable d'argumenter avec une telle mauvaise foi. Il est encore moins probable que Huxley ait fait allusion à une machine à écrire. Bien que des brevets pour les machines à écrire modernes aient été accordés à partir de 1714, la production commerciale des machines à écrire n'a commencé qu’en 1870, et un orateur aussi habile que Huxley n’aurait certainement pas laissé dépendre son argumentation d’une machine dont l'existence était encore inconnue de la majeure partie de son auditoire.

Il s’agit d’une expérience de pensée qui, clairement, ne peut pas être effectuée dans la réalité, puisqu'elle demanderait un temps infini ou une infinité de singes. Néanmoins, elle a inspiré de nombreux travaux dans la génération aléatoire finie de textes.

Le site « le simulateur de singe shakespearien », commencé le 1^er juillet 2003, contient une appliquette qui simule une grande population de singes dactylographiant aléatoirement, dans l'intention de voir combien de temps il faut à ces singes virtuels pour produire une pièce complète de Shakespeare du début jusqu'à la fin. Le 3 janvier 2005, le programme a obtenu 24 lettres consécutives, quatre mots ont été enregistrés (« RUMOUR. Open your ears; 9r"5j5&?OWTY Z0d "B-nEoF.vjSqj[...» de Henry VI, part 2). À cause des limitations de capacité de traitement, le programme emploie un modèle probabiliste (en employant un générateur de nombres aléatoires) au lieu de réellement produire aléatoirement du texte et de le comparer à Shakespeare. Quand le simulateur « détecte une coïncidence » (c'est-à-dire, quand le générateur de nombres aléatoires produit une certaine valeur), le simulateur réagit à la coïncidence en produisant du texte assorti.

En 2003, des scientifiques de l’université de Plymouth, auraient effectué une expérience avec des singes au zoo de Paignton à Devon en Angleterre : laisser pendant un mois un clavier d'ordinateur dans la clôture qui parquait six macaques à crête de Sulawesi. À la fin ils constatèrent que les singes n'avaient produit que « cinq pages »^{(Archive • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?)} ne contenant que quelques lettres longuement répétées, et ils rapportèrent que les singes avaient commencé par attaquer le clavier avec une pierre, et avaient ensuite uriné et déféqué dessus (voir aussi Prix Ig Nobel).

Une question peut à ce stade subsister dans l'esprit : peut-on réellement produire des œuvres littéraires avec ce système ? Il est clair qu'on ne fait que remplacer un problème par un autre plus grand : au lieu de composer une œuvre, il faut lire et tester des milliards de milliards de documents et arriver à déterminer lequel contient l'œuvre. La quantité d'information consommée dans le processus sera au moins aussi grande, et en ce sens ce paradoxe n'est pas dénué de similitude avec celui du démon de Maxwell, dont la physique crut quelques mois pouvoir espérer des miracles aussi.

Exprimé en termes plus simples, cela signifie que la complexité de retrouver une œuvre donnée de Shakespeare dans la Bibliothèque de Babel sera très exactement la même que celle de recopier directement cette pièce à la main, puisque d'une part l'original est nécessaire et que d'autre part il faudra tout examiner lettre par lettre : la Bibliothèque de Babel (ou le travail des singes) ne contient paradoxalement pas d'information. Ou, ce qui revient au même, c'est le contexte lié au vécu du récepteur, et lui seul, qui fait que tel « bruit » particulier devient pour lui une « information » (parce qu'il connaît la grammaire d'une langue, possède un vocabulaire et dispose d'un vécu lui permettant de conférer du sens à une suite de caractères qui en soi ne se distingue pas des autres (voir aussi Théorie d'Everett).

Paul Valéry avait exprimé une réserve similaire dans L'homme et la coquille (Variété III) : « le chiffre qui sort à la loterie ne peut avoir de sens pour moi, ne se distingue de tous les autres, que si je possède un billet qui le porte. »

Stanislas Lem joue dans La Voix du Maître avec l'idée d'un signal baignant tout l'univers et porteur de sens pour une civilisation évoluée ou même un univers ultérieur (et pouvant aussi venir d'un univers antérieur disparu), mais qui ne serait lui aussi que bruit sans signification pour des observateurs de niveau de conscience ou de connaissances encore insuffisants.

On pourrait imaginer de gagner du temps dans le processus en ne produisant que des phrases bien formées. Cela est difficile pour une langue naturelle, mais facile en mathématiques, dans le cadre de la logique mathématique. On envisagea donc lors des premiers développements du calcul formel sur ordinateur de fournir des axiomes et des règles de déduction à une machine, le mathématicien n'ayant plus qu'à examiner chaque jour les listings et à publier les théorèmes du jour. Il va de soi que le problème est le même à une seule chose près : toutes les formules imprimées seront cette fois correctes, c’est-à-dire bien formées et de plus vraies (et fournies avec la démonstration).

En revanche, le problème du dépouillement de papier reste inchangé. De plus, au cours d'une conférence sur les fondements des mathématiques, Jean-Yves Girard fait la remarque suivante (selon lui, la logique formelle ressemble plus à un travail de bureaucrate qu'à un travail de singe savant) :

« La question qui se pose est la suivante : est-ce que les mathématiques sont une activité formelle ? Est-ce que les mathématiques sont une activité "bureaucratique" ? Est-ce qu'on aurait pu confier le théorème de Fermat à un groupe d'énarques ? Ils y seraient arrivés en 300 ans ? Bon c'est impossible parce qu'il faut des idées. »

Autrement dit, la vraie question mathématique est de distinguer parmi les théorèmes ceux qui sont intéressants ; attendre que le hasard produise un de ceux-ci ramène à la difficulté précédente (l'explosion combinatoire), c'est pourquoi l'activité mathématique de démonstration reste créatrice. D'autre part, une machine peut fabriquer "au kilomètre" des énoncés mathématiquement tous vrais accompagnés de leur démonstration établie par ses soins. Néanmoins, dans ces millions d'énoncés, le fait d'en distinguer quelques-uns pour en faire — et d'eux seuls — des théorèmes relève d'un vécu du mathématicien, qui aura reconnu un lien possible et éventuellement fécond avec des travaux d'autres branches du savoir comme la physique, la statistique, la biologie, etc. Les théorèmes spécifiques de Thalès et de Pythagore, par exemple, étaient liés à des besoins latents concernant l'architecture ou l'établissement d'un cadastre.

• Voir aussi : Épistémologie

Selon ce même principe, des formes[9] (pseudo)aléatoires ont été utilisées pour créer de l'art abstrait. Le logiciel suit des structures types, préprogrammées. L'utilisateur humain peut pondérer ces structures en fonction de ses préférences, pour faire composer des dessins ou de la musique qui lui plaise.

Une question importante de la philosophie est « Pourquoi y a-t-il quelque chose plutôt que rien ? » Dans la mesure où la réalisation de tous les possibles équivaut à une absence totale d'information, une boutade classique de physiciens consiste à dire qu'il se peut tout simplement que nous ne soyons que l'une des formes possibles du « rien ». C'est d'ailleurs l'un des thèmes traité par Greg Egan[10].

Une sorte d'antihasard existe ici : nous ne pouvons en tant qu'observateurs exister que dans un des univers particuliers susceptibles de donner naissance à des observateurs. Il s'agit du principe anthropique faible.

On peut dans certains cas évaluer si la suite des décimales d'un nombre irrationnel possède des caractéristiques statistiques analogues à une suite de chiffres aléatoires. Lorsque tel est le cas, on peut attendre de cette suite les mêmes caractéristiques qu'un texte frappé par un singe (non) savant : en poussant son investigation assez loin dans cette suite, on peut espérer y découvrir son numéro de téléphone, sa date de naissance, notre numéro de sécurité sociale, la dernière suite gagnante des numéros du Loto et, avec une convention pour associer des lettres et signes typographiques aux couples de chiffres, son nom de famille, son adresse, et — en étant très opiniâtre — La Cigale et la Fourmi, Le Corbeau et le Renard et La Bibliothèque de Babel. Il n'est donc pas davantage possible d'utiliser le procédé pour la moindre création littéraire, sauf à la rigueur pour un exercice de style (Jean-Pierre Petit par exemple a utilisé des mots créés par combinaisons aléatoires de préfixes et suffixes dans ses bandes dessinées).