Soient ${\displaystyle A}$ une partie de ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle (O_{i})_{i\in I}}$ une famille de parties de ${\displaystyle E}$.

On dit que ${\displaystyle (O_{i})_{i\in I}}$ est un recouvrement de ${\displaystyle A}$ si ${\displaystyle A\subset \cup _{i\in I}O_{i}}$.

Il est dit ouvert si tous les ${\displaystyle O_{i}}$ sont ouverts.

Un sous-recouvrement de ${\displaystyle (O_{i})_{i\in I}}$ est une sous-famille ${\displaystyle (O_{i})_{i\in J}}$ (${\displaystyle J\subset I}$) qui est encore un recouvrement de ${\displaystyle A}$.

Il est dit fini si ${\displaystyle J}$ est fini.

On dit qu'une partie A de E est compacte si pour tout recouvrement ouvert de A, il existe un sous-recouvrement fini.

• Toute partie compacte de E est fermée et bornée.
• Soit A une partie compacte de E. Toute partie fermée de A est compacte.
• Toute union finie de parties compactes de E est compacte.
• Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de E est compacte.

Soit ${\displaystyle (u_{n})}$ une suite de E.

On dit qu'un élément ${\displaystyle a\in E}$ est une valeur d'adhérence de ${\displaystyle (u_{n})}$ si tout voisinage ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle a}$ contient une infinité de termes de la suite, autrement dit : ${\displaystyle \forall N\in \mathbb {N} \quad \exists n\geq N\quad x_{n}\in V}$.

Soit ${\displaystyle (u_{n})}$ une suite de E.

Un élément ${\displaystyle a\in E}$ est une valeur d'adhérence de ${\displaystyle (u_{n})}$ si et seulement s'il existe une suite extraite ${\displaystyle (u_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ qui converge vers ${\displaystyle a}$.

Une partie A de E est compacte si et seulement si toute suite de A admet une valeur d'adhérence dans A.

Soient E et F deux e.v.n. et A (resp. B) une partie compacte de E (resp. F). Alors :

• l'espace métrique A est complet ;
• A×B est une partie compacte de E×F.

Soient E et F deux e.v.n., A une partie compacte de E, et f : A → F une application continue.

Alors, f(A) est une partie compacte de F.