Soit ${\displaystyle A}$ une partie compacte d'un espace séparé ${\displaystyle X}$ ; montrons que ${\displaystyle A}$ est fermé, c.-à-d.que ${\displaystyle X\setminus A}$ est un voisinage de tout point ${\displaystyle x\in X\setminus A}$.

Pour tout ${\displaystyle y\in A}$, il existe deux ouverts de ${\displaystyle X}$ disjoints, ${\displaystyle U_{y}}$ contenant ${\displaystyle y}$ et ${\displaystyle V_{y}}$ contenant ${\displaystyle x}$.

Ainsi, ${\displaystyle (U_{y})_{y\in A}}$ est un recouvrement ouvert de ${\displaystyle A}$, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini ${\displaystyle (U_{y})_{y\in J}}$.

On a alors ${\displaystyle x\in V:=\cap _{y\in J}V_{y}}$ qui est un ouvert car ${\displaystyle J}$ est fini.

De plus, ${\displaystyle V}$ est disjoint de l'ouvert ${\displaystyle U:=\cup _{y\in J}U_{y}}$. On en déduit que ${\displaystyle V\subset X\setminus A}$ car ${\displaystyle A\subset U}$.

Ceci termine de montrer que ${\displaystyle X\setminus A}$ est un voisinage de ${\displaystyle x}$.

Montrons plus précisément que toute partie fermée d'un espace quasi-compact est quasi-compacte.

Soit ${\displaystyle A}$ une partie fermée d'un espace compact ${\displaystyle X}$ et soit ${\displaystyle (O_{i})_{i\in I}}$ une famille d'ouverts de ${\displaystyle X}$ dont la réunion contient ${\displaystyle A}$. En lui adjoignant l'ouvert ${\displaystyle X\setminus A}$, on obtient un recouvrement ouvert de ${\displaystyle X}$.

Puisque ${\displaystyle X}$ est compact, il existe alors une partie finie ${\displaystyle J}$ de ${\displaystyle I}$ telle que ${\displaystyle X=\left(X\setminus A\right)\cup \cup _{i\in J}O_{i}}$, si bien que ${\displaystyle A\subset \cup _{i\in J}O_{i}}$.

Soit ${\displaystyle X}$ un espace topologique.

1. Soient ${\displaystyle A_{1},\cdots ,A_{N}}$ des parties quasi-compactes de ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle A}$ leur réunion.
   Soit ${\displaystyle (O_{i})_{i\in I}}$ une famille d'ouverts de ${\displaystyle X}$ dont la réunion contient ${\displaystyle A}$. Alors, pour tout ${\displaystyle 1\leq k\leq N}$, ${\displaystyle A_{k}\subset \cup _{i\in I}O_{i}}$ donc il existe une partie finie ${\displaystyle J_{k}}$ de ${\displaystyle I}$ telle que ${\displaystyle A_{k}\subset \cup _{i\in J_{k}}O_{i}}$.
   L'ensemble ${\displaystyle J:=\cup _{k=1}^{N}J_{k}}$ est alors fini, et ${\displaystyle A\subset \cup _{i\in J}O_{i}}$, ce qui prouve que ${\displaystyle A}$ est quasi-compact.
2. Supposons ${\displaystyle X}$ séparé. Soient ${\displaystyle \left(B_{t}\right)_{t\in T}}$ une famille non vide de parties compactes de ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle B:=\cap _{t\in T}B_{t}}$ et ${\displaystyle t_{0}\in T}$. Dans ${\displaystyle X}$, tous les ${\displaystyle B_{t}}$ sont fermés (comme parties compactes d'un espace séparé) donc ${\displaystyle B}$ est fermé.
   Or ${\displaystyle B\subset B_{t_{0}}}$. C'est donc un compact, comme partie fermée d'un compact.

Montrons que plus généralement, l'image d'un quasi-compact C par une application continue f : C → Y (avec Y non nécessairement séparé) est quasi-compacte^[1]. Considérons un recouvrement de f(C) par des ouverts de f(C) (pour la topologie induite) ; son image réciproque par f est un recouvrement ouvert de C, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini. L'image par f de ce sous-recouvrement est un sous-recouvrement fini de f(C) extrait du recouvrement initial.

Par contraposition : si, pour un certain ε > 0, aucune union finie de boules ouvertes de rayon ε ne remplit E, alors on peut construire par récurrence une suite ${\displaystyle (u_{n})}$ telle que

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}\notin \cup _{k<n}B\left(u_{k},\varepsilon \right)}$.

Une telle suite vérifie :

${\displaystyle \forall \left(i,j\right)\in \mathbb {N} ^{2}\quad i\neq j\Rightarrow d\left(u_{i},u_{j}\right)\geq \varepsilon }$

donc elle n'admet pas de sous-suite de Cauchy ni, a fortiori, de sous-suite convergente, ce qui prouve que E n'est pas séquentiellement compact.

Par l'absurde. On suppose ${\displaystyle \forall r>0\quad \exists x\in E\quad \forall i\in I\quad B\left(x,r\right)\not \subset U_{i}}$ en particulier ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad \exists x_{n}\in E\quad \forall i\in I\quad B\left(x_{n},2^{-n}\right)\not \subset U_{i}}$.

E est séquentiellement compact donc ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ admet une sous-suite convergente ${\displaystyle \left(x_{\varphi \left(n\right)}\right)}$. Sa limite, notée ${\displaystyle x}$, appartient à l'un des ${\displaystyle U_{i}}$, disons ${\displaystyle U_{i_{0}}}$. Cet ouvert contient alors une boule ouverte de centre ${\displaystyle x}$, dont nous noterons ${\displaystyle \varepsilon }$ le rayon.

Pour ${\displaystyle n}$ assez grand, ${\displaystyle d\left(x_{\varphi \left(n\right)},x\right)+2^{-\varphi (n)}\leq \varepsilon }$. On a alors ${\displaystyle B\left(x_{\varphi \left(n\right)},2^{-\varphi \left(n\right)}\right)\subset U_{i_{0}}}$, ce qui est absurde.

Il reste à démontrer que tout espace métrique séquentiellement compact est compact.

Soient E un espace métrique séquentiellement compact et ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ un recouvrement ouvert de E. Soit (par le lemme 2) ${\displaystyle r>0}$ un nombre de Lebesgue de ce recouvrement :

${\displaystyle \forall x\in E\quad \exists i(x)\in I\quad B\left(x,r\right)\subset U_{i(x)}}$.

D'après le lemme 1, il existe une partie finie F de E telle que

${\displaystyle E=\cup _{x\in F}B\left(x,r\right)}$.

On en déduit que la sous-famille finie ${\displaystyle \left(U_{i\left(x\right)}\right)_{x\in F}}$ recouvre E.

Nous dirons qu'une famille d'ouverts est :

• non couvrante (NC) si elle ne recouvre pas X ;
• non finiment couvrante (NFC) si ses sous-familles finies sont non couvrantes.

On suppose donc que toute famille NFC d'ouverts de A est NC, et il s'agit de montrer qu'il en est de même pour les familles d'ouverts quelconques.

Soit F une famille NFC d'ouverts. Soit E l'ensemble des familles NFC d'ouverts dont F est une sous-famille. Alors, (E, ⊂) est inductif, c'est-à-dire que tout sous-ensemble C de E sur lequel l'ordre ⊂ est total admet un majorant (un élément de E dans lequel tous les éléments de C sont inclus) : il suffit de prendre la réunion des éléments de C (elle est bien NFC, car toute sous-famille finie de cette réunion est une sous-famille de l'un des éléments de C). D'après le lemme de Zorn, (E, ⊂) admet donc un élément maximal G. Nous allons montrer que G est NC (a fortiori, F sera NC).

Remarquons que par maximalité de G, un ouvert U n'appartient pas à G (si et) seulement si X est recouvert par U et une réunion finie d'ouverts de G. Par conséquent, l'ensemble des ouverts n'appartenant pas à G est stable par intersections finies et par « sur-ouverts » (ouverts contenant un ouvert donné).

A∩G est NFC (car G ∈ E) donc est NC (par hypothèse sur A) :

${\displaystyle X\not \subset \cup _{V\in A\cap G}V}$.

Pour conclure que G est NC, il ne reste plus qu'à vérifier que

${\displaystyle \cup _{U\in G}U\subset \cup _{V\in A\cap G}V}$.

Soient ${\displaystyle U\in G}$ et ${\displaystyle x\in U}$. Comme A est une prébase, il existe ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{n}\in A}$ tels que ${\displaystyle x\in V_{1}\cap \dots \cap V_{n}\subset U}$. D'après la remarque précédente, l'un des ${\displaystyle V_{i}}$ appartient alors à G, ce qui achève la preuve.

Soit ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ une famille d'espaces quasi-compacts et ${\displaystyle X}$ leur produit. Une prébase de la topologie sur X est :

${\displaystyle A:=\cup _{i\in I}A_{i}\quad {\text{avec}}\quad A_{i}:=\left.\left\{U\times \prod _{j\in I\setminus \{i\}}X_{j}~\right|~U{\text{ ouvert de }}X_{i}\right\}}$.

Il s'agit (en utilisant le théorème d'Alexander et le vocabulaire de sa preuve) de montrer que toute sous-famille R ⊂ A qui est NFC est NC.

Pour tout ${\displaystyle i\in I}$, la sous-famille ${\displaystyle R\cap A_{i}\subset R}$ est NFC sur X donc sa i-ème projection,

${\displaystyle R_{i}:=\left\{U{\text{ ouvert de }}X_{i}~\left|~U\times \prod _{j\in I\setminus \{i\}}X_{j}\in R\right\}\right.}$,

est NFC sur ${\displaystyle X_{i}}$, et même NC puisque ${\displaystyle X_{i}}$ est quasi-compact.

En invoquant l'axiome du choix, on en déduit l'existence d'un ${\displaystyle x\in X}$ tel que

${\displaystyle \forall i\in I\quad x_{i}\notin \cup _{U\in R_{i}}U}$,

c.-à-d.

${\displaystyle x\notin \cup _{i\in I,~V\in R\cap A_{i}}V=\cup _{V\in R}V}$,

donc R est bien NC.