1. Soient A une partie compacte de X et x ∈ X la limite d'une suite d'éléments de A. Cette suite a une sous-suite qui converge dans A. Or la limite de cette sous-suite est x, qui appartient donc à A, ce qui prouve que A est fermé.
2. Supposons X compact. Soient A une partie fermée de X et (a_n) une suite d'éléments de A. Cette suite est à valeurs dans X donc admet une sous-suite qui converge dans X. Comme A est fermé, la limite appartient à A, donc (a_n) admet une sous-suite qui converge dans A, ce qui prouve que A est compact.
3. Soient A et B deux parties compactes de X, C leur réunion, et (c_n) une suite d'éléments de C. Si les c_n appartiennent tous à A à partir d'un certain rang, alors (c_n) admet une sous-suite qui converge dans A donc dans C. Si au contraire une infinité de c_n n'appartiennent pas à A, donc appartiennent à B, alors (c_n) admet une sous-suite qui converge dans B donc dans C. Ceci prouve que C est compact.
4. Soient ${\displaystyle \left(B_{t}\right)_{t\in T}}$ une famille non vide de parties compactes de X, ${\displaystyle B:=\cap _{t\in T}B_{t}}$ et (b_n) une suite d'éléments de B. Cette suite est à valeurs dans un compact (n'importe lequel des ${\displaystyle B_{t}}$) donc admet une sous-suite convergente. Soit ${\displaystyle \ell \in X}$ la limite. Pour tout ${\displaystyle t\in T}$, cette sous-suite est à valeurs dans ${\displaystyle B_{t}}$, fermé d'après le point 1, donc ${\displaystyle \ell \in B_{t}}$. Ceci prouve que (b_n) admet une sous-suite qui converge dans ${\displaystyle \cap _{t\in T}B_{t}=B}$, donc B est compact.
5. Soient C un espace compact, f : C → X une application continue, (x_n) une suite dans f(C), et pour tout indice n, c_n un antécédent de x_n. Par compacité de C, la suite (c_n) admet au moins une valeur d'adhérence c, et par continuité de f en ce point, f(c) est alors une valeur d'adhérence de (x_n) donc (puisque X est supposé métrique) c est limite d'une sous-suite de (x_n).

Soit X le produit d'une suite (Xⁱ)_i∈ℕ d'espaces métriques compacts et soit (x_j)_j∈ℕ une suite d'éléments de X (une suite de suites). À partir de n₀(j) = j, on construit par récurrence une suite d'extractrices n_p, chacune extraite de la précédente et telle que dans X^p, la suite ${\displaystyle (x_{n_{p+1}(j)}^{p})_{j\in \mathbb {N} }}$ converge vers un certain x^p, puis on pose (pour tout entier naturel p) φ(p) = n_p(p). Cette extractrice φ donne alors une suite extraite de (x_j)_j∈ℕ qui converge par construction vers l'élément (x^p)_p∈ℕ de X, ce qui achève la preuve.

1. On peut supposer B non vide. Soit O un ouvert de X×Y contenant {x}×B. Pour tout y ∈ B, le couple (x, y) appartient à O, donc à un ouvert élémentaire U_y×V_y inclus dans O. Le recouvrement ouvert (V_y)_y∈B du quasi-compact B possède un sous-recouvrement fini (V_y)_y∈Z. Pour un tel Z (fini et non vide), l'ouvert U := ∩_y∈Z U_y contient x, l'ouvert V := ⋃_y∈Z V_y contient B, et U×V est inclus dans ⋃_y∈Z U_y×V_y donc dans O.
2. On peut supposer A non vide. D'après le point précédent, pour tout a ∈ A, il existe un ouvert élémentaire U_a×V_a inclus dans O et contenant {a}×B. Le recouvrement ouvert (U_a)_a∈A du quasi-compact A possède un sous-recouvrement fini (U_a)_a∈C. Pour un tel C (fini et non vide), l'ouvert V := ∩_a∈CV_a contient B, l'ouvert U := ⋃_a∈CU_a contient A, et U×V est inclus dans O.
3. Il suffit d'appliquer la question 1 à B = Y.
4. Par récurrence sur le nombre de facteurs du produit, il suffit de le démontrer pour deux facteurs. Soient donc X et Y quasi-compacts et (G_i)_i∈I un recouvrement ouvert de X×Y. Pour tout point x de X, la partie {x}×Y est quasi-compacte (car homéomorphe à Y) et incluse dans la réunion des G_i donc dans une certaine réunion finie O_x := ⋃_j∈JxG_j. D'après le lemme du tube, l'ouvert O_x contient un ouvert élémentaire U_x×Y contenant {x}×Y. Les U_x quand x parcourt X constituent alors un recouvrement ouvert du quasi-compact X, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini U_x1⋃…⋃U_xn. Chaque O_xi (pour i de 1 à n) contient U_xi×Y donc X×Y est inclus dans la réunion de ces O_xi, c'est-à-dire la réunion des G_j pour j appartenant à l'ensemble fini J_x1⋃…⋃J_xn. Ces G_j constituent donc un sous-recouvrement fini.
5. Il suffit d'appliquer la question 2 à Y = X séparé et O = le complémentaire de la diagonale (celle-ci étant alors fermée).

1. Remarquons d'abord que ${\displaystyle F}$ est bien à valeurs réelles (car la fonction ${\displaystyle f_{z}:t\mapsto f(z,t)}$ est continue sur le compact ${\displaystyle T}$) et qu'elle est semi-continue inférieurement car les ${\displaystyle f_{z}}$ le sont.
   Soient maintenant ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ et ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Par compacité de ${\displaystyle T}$, la continuité de ${\displaystyle f}$ par rapport à ${\displaystyle z}$ au point ${\displaystyle z_{0}}$ est uniforme par rapport à ${\displaystyle t}$ donc il existe ${\displaystyle \eta >0}$ tel que ${\displaystyle \forall z\in B(z_{0},\eta )\quad \forall t\in T\quad f(z,t)<f(z_{0},t)+\varepsilon }$. On en déduit : ${\displaystyle \forall z\in B(z_{0},\eta )\quad F(z)\leq F(z_{0})+\varepsilon }$, ce qui prouve que ${\displaystyle F}$ est aussi semi-continue supérieurement. Elle est donc continue (on peut d'ailleurs le démontrer directement comme on vient de faire pour la semi-continuité supérieure ; voir aussi w:Module de continuité#Faits élémentaires), si bien que ${\displaystyle F([-1,1]^{n})}$ est compact.
2. ${\displaystyle F(x,y)}$ est égal à ${\displaystyle f(x,y,-y/2x)=-y^{2}/4x}$ si ${\displaystyle x<0}$ et ${\displaystyle |y|\leq -2x}$, et à ${\displaystyle \max \left(f(x,y,1),f(x,y,-1)\right)=x+|y|}$ si ${\displaystyle x\geq 0}$ ou ${\displaystyle |y|\geq -2x}$ (les deux expressions ${\displaystyle -y^{2}/4x}$ et ${\displaystyle x+|y|}$ coïncident à l'intersection de ces deux domaines, c'est-à-dire le long des deux demi-droites ouvertes ${\displaystyle x<0,\;y=\pm 2x}$).
   Par recollement, ${\displaystyle F}$ est donc continue, même en ${\displaystyle (0,0)}$ car ${\displaystyle {\underset {x\to 0,\,|y|<-2x}{\lim }}-{\frac {y^{2}}{4x}}=0=0+|0|}$.
   ${\displaystyle F\left([-1,1]^{2}\right)=A\cup B\cup C}$ avec
   ${\displaystyle A={\underset {0\leq x\leq 1}{\cup }}x+[0,1]=[0,2]}$,
   ${\displaystyle B={\underset {-1/2\leq x<0}{\cup }}\left({\frac {1}{4|x|}}\left[0,(2|x|)^{2}\right]\cup x+[2|x|,1]\right)={\underset {-1/2\leq x<0}{\cup }}[0,1-|x|]=[0,1]}$ et
   ${\displaystyle C={\underset {-1\leq x\leq -1/2}{\cup }}{\frac {1}{4|x|}}[0,1]=[0,1/2]}$ donc ${\displaystyle F\left([-1,1]^{2}\right)=[0,2]}$, qui est bien fermé borné donc compact.