La notion de différentiabilité généralise celle de dérivées de fonctions réelles de variable réelle.

Application différentiable en un point

Soient ${\displaystyle f}$ une application de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle a}$ un point de ${\displaystyle E}$.

Définition : Application différentiable en un point

On dit que ${\displaystyle f}$ est différentiable au point ${\displaystyle a}$ s'il existe une application linéaire continue ${\displaystyle L:E\to F}$ telle que (avec la notation o de Landau)

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|)}$,

c'est-à-dire telle que l'application ${\displaystyle \varepsilon :E\setminus \{0\}\to F}$ définie par

${\displaystyle \forall h\in E\quad f(a+h)=f(a)+L(h)+\|h\|\varepsilon (h)}$

vérifie :

${\displaystyle \lim _{0}\varepsilon =0}$.

Si ${\displaystyle f}$ n'est pas définie sur ${\displaystyle E}$ tout entier mais seulement sur voisinage de ${\displaystyle a}$, on adopte la même définition, après avoir prolongé ${\displaystyle f}$ à ${\displaystyle E}$ de façon arbitraire (la définition ne dépend clairement pas du choix du prolongement).

Propriétés et définition

Définition : Différentielle au point a

Si ${\displaystyle f}$ est différentiable en ${\displaystyle a}$, l’application ${\displaystyle L}$ ci-dessus est unique. On la note ${\displaystyle \mathrm {d} f_{a}}$ et on l'appelle la différentielle de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle a}$.

Propriété

La différentiabilité de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle a}$ implique la continuité de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle a}$.

Remarques

• Si ${\displaystyle E=\mathbb {R} }$ la définition du vecteur dérivé ${\displaystyle f'(a)}$ de ${\displaystyle f}$ au point ${\displaystyle a}$ est ${\displaystyle f(a+h)=f(a)+hf'(a)+o(h)}$. Dans ce cas, les notions de différentiabilité et dérivabilité se confondent donc et ${\displaystyle \mathrm {d} f_{a}(h)=hf'(a)}$. Cependant, on verra plus loin que si ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{p}}$, l’existence de dérivées partielles en un point n'implique pas la différentiabilité ni même la continuité en ce point.
• De même que pour les fonctions de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, la propriété de différentiabilité est ponctuelle.
• Si ${\displaystyle f}$ est linéaire continue alors elle est différentiable en tout point ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} f_{a}=f}$.

Exemples de calcul d'une différentielle

Soient ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle G}$ trois espaces vectoriels normés et ${\displaystyle B:E\times F\to G}$ une application bilinéaire. Si ${\displaystyle B}$ est continue alors elle est différentiable en tout point ${\displaystyle (x,y)}$ de ${\displaystyle E\times F}$, et ${\displaystyle \mathrm {d} B_{(x,y)}{(h,k)}=B(x,k)+B(h,y)}$.

En effet :

• l'application ${\displaystyle (h,k)\mapsto B(x,k)+B(h,y)}$ est linéaire continue ;
• ${\displaystyle B(x+h,y+k)-B(x,y)-\left(B(x,k)+B(h,y)\right)=B(h,k)}$ ;
• avec les notations du § suivant, ${\displaystyle \|B(h,k)\|\leq |\!|\!|B|\!|\!|\ \|h\|\ \|k\|\leq |\!|\!|B|\!|\!|\max(\|h\|,\|k\|)^{2}=|\!|\!|B|\!|\!|\ \|(h,k)\|^{2}=o(\|(h,k)\|)}$.

Ceci s'applique par exemple :

• pour ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle E=F=}$ un espace euclidien, muni de son produit scalaire ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$, et ${\displaystyle B=}$ ce produit scalaire. En effet, cette application bilinéaire ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ est continue (comme toute application multilinéaire sur un espace vectoriel normé de dimension finie ou, plus explicitement ici, par l'inégalité de Cauchy-Schwarz : ${\displaystyle |\!|\!|\langle \cdot ,\cdot \rangle |\!|\!|=1}$). On trouve donc : ${\displaystyle \mathrm {d} \langle \cdot ,\cdot \rangle _{(x,y)}{(h,k)}=\langle x,k\rangle +\langle h,y\rangle }$ ;
• ${\displaystyle E=F=G=\mathbb {R} ^{3}}$ et ${\displaystyle B=}$ le produit vectoriel. Donc de même, ${\displaystyle \mathrm {d} \land _{(x,y)}{(h,k)}=x\land k+h\land y}$.

Plus généralement (et par le même raisonnement), soient ${\displaystyle E_{1},\dots ,E_{n},G}$ des e.v.n. et ${\displaystyle M:E_{1}\times \dots \times E_{n}\to G}$ une application multilinéaire. Si ${\displaystyle M}$ est continue alors elle est différentiable en tout point ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} M_{x}(h)=\sum _{k=1}^{n}M(x_{1},\dots ,x_{k-1},h_{k},x_{k+1},\dots ,x_{n})}$.

Rappels sur les applications linéaires continues

Dans la suite on aura besoin du théorème suivant, démontré dans la leçon sur les espaces vectoriels normés :

Théorème

Soit ${\displaystyle L:E\to F}$ une application linéaire. Les assertions suivantes sont équivalentes :

• ${\displaystyle L}$ est continue ;
• ${\displaystyle L}$ est continue en ${\displaystyle 0}$ ;
• ${\displaystyle L}$ est bornée sur la boule unité ;
• ${\displaystyle \exists k\geq 0\quad \forall x\in E\quad \|L(x)\|\leq k\|x\|}$.

Si ${\displaystyle L}$ est continue, le plus petit réel ${\displaystyle k\geq 0}$ tel que ${\displaystyle \forall x\in E\quad \|L(x)\|\leq k\|x\|}$ est égal à ${\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1}\|L(x)\|}$. On l'appelle la norme de l'application linéaire ${\displaystyle L}$, ou norme de ${\displaystyle L}$ subordonnée (à la norme sur ${\displaystyle E}$), et on le note ${\displaystyle \|L\|}$ ou ${\displaystyle |\!|\!|L|\!|\!|}$.

Plus généralement, si ${\displaystyle E_{1},\dots ,E_{n}}$ sont des espaces vectoriels normés, on définit, pour toute application ${\displaystyle n}$-linéaire continue ${\displaystyle L:E_{1}\times \dots \times E_{n}\to F}$, un réel ${\displaystyle |\!|\!|L|\!|\!|}$ vérifiant ${\displaystyle \|L(x_{1},\dots ,x_{n})\|\leq |\!|\!|L|\!|\!|\|x_{1}\|\dots \|x_{n}\|}$.

Si ${\displaystyle E_{1},\dots ,E_{n}}$ sont de dimension finie, toute application ${\displaystyle n}$-linéaire ${\displaystyle L:E_{1}\times \dots \times E_{n}\to F}$ est continue (on peut le démontrer par exemple par récurrence sur n ; pour le cas n = 1, voir Espaces vectoriels normés/Dimension finie#Équivalence des normes et conséquences).

Composition

Théorème

Soient ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle G}$ trois espaces vectoriels normés. Si ${\displaystyle f:E\to F}$ est différentiable en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle g:F\to G}$ est différentiable en ${\displaystyle b:=f(a)}$ alors ${\displaystyle g\circ f}$ est différentiable en ${\displaystyle a}$ et

${\displaystyle \mathrm {d} (g\circ f)_{a}=\mathrm {d} g_{b}\circ \mathrm {d} f_{a}}$.

Trois applications du théorème

• Sur un espace ${\displaystyle E}$ euclidien, la différentielle de l'application ${\displaystyle \pi$ :=\langle \cdot ,\cdot \rangle \circ \Delta :x\mapsto \langle x,x\rangle } est donnée (voir supra) par ${\displaystyle \mathrm {d} \pi _{x}=\mathrm {d} \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\Delta (x)}\circ \mathrm {d} \Delta _{x}=\mathrm {d} \langle \cdot ,\cdot \rangle _{(x,x)}\circ \Delta }$, c'est-à-dire : ${\displaystyle \mathrm {d} \pi _{x}(h)=\langle x,h\rangle +\langle h,x\rangle =2\langle x,h\rangle }$.
• De même, la différentielle au point ${\displaystyle A}$ de l'application ${\displaystyle M\mapsto M^{3}}$ de ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}$ dans lui-même est ${\displaystyle H\mapsto HA^{2}+AHA+A^{2}H}$.
• Notons ${\displaystyle N(x)=\|x\|=R(\pi (x))}$ la norme euclidienne de ${\displaystyle x\in E}$. L'application ${\displaystyle R:t\mapsto {\sqrt {t}}}$ est dérivable en tout ${\displaystyle t>0}$. Ainsi, en tout point ${\displaystyle x\neq 0}$ de ${\displaystyle E}$, la différentielle de la norme euclidienne est donnée par ${\displaystyle \mathrm {d} N_{x}(h)=\left(\mathrm {d} R_{\pi (x)}\circ \mathrm {d} \pi _{x}\right)(h)={\dfrac {1}{2{\sqrt {\langle x,x\rangle }}}}\times 2\langle x,h\rangle ={\dfrac {\langle x,h\rangle }{\|x\|}}}$.

Opérations algébriques

Le lemme suivant est immédiat mais très utile, entre autres pour analyser une fonction à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$.

Lemme

Une application ${\displaystyle f:x\mapsto f(x)=(f_{1}(x),\dots ,f_{q}(x))}$ (à valeurs dans un produit de ${\displaystyle q}$ espaces vectoriels normés) est différentiable en un point ${\displaystyle a}$ si et seulement si chacune de ses composantes ${\displaystyle f_{i}}$ (pour ${\displaystyle i}$ de ${\displaystyle 1}$ à ${\displaystyle q}$) l'est, et alors, ${\displaystyle \mathrm {d} f_{a}(h)=(\mathrm {d} (f_{1})_{a}(h),\dots ,\mathrm {d} (f_{q})_{a}(h))}$.

Les propriétés suivantes généralisent les règles usuelles correspondantes pour les fonctions numériques. Elles se déduisent immédiatement du lemme et du théorème de composition ci-dessus, et du calcul général précédent de la différentielle d'une application continue linéaire ou bilinéaire.

Propriété

Soient ${\displaystyle f,g:E\to F}$ différentiables en ${\displaystyle a\in E}$. Alors :

1. la somme ${\displaystyle f+g}$ est différentiable en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} (f+g)_{a}=\mathrm {d} f_{a}+\mathrm {d} g_{a}}$ ;
2. pour tout scalaire ${\displaystyle \lambda \in K}$, ${\displaystyle \lambda f}$ est différentiable en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} (\lambda f)_{a}=\lambda \mathrm {d} f_{a}}$ ;
3. si ${\displaystyle F=K}$ :
   • le produit ${\displaystyle fg}$ est différentiable en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} (fg)_{a}=f(a)\mathrm {d} g_{a}+g(a)\mathrm {d} f_{a}}$,
   • si ${\displaystyle f(a)\neq 0}$, l'inverse ${\displaystyle 1/f}$ est différentiable en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} (1/f)_{a}=-{\frac {\mathrm {d} f_{a}}{(f(a))^{2}}}}$,
   • si ${\displaystyle g(a)\neq 0}$, le quotient ${\displaystyle f/g}$ est différentiable en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} (f/g)_{a}={\frac {g(a)\mathrm {d} f_{a}-f(a)\mathrm {d} g_{a}}{(g(a))^{2}}}}$.

Exemple

Dans l'espace euclidien usuel ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, l'inversion ${\displaystyle h}$, de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$ dans lui-même, définie par

${\displaystyle h(x)={\frac {x}{\|x\|^{2}}}}$,

est différentiable et (d'après le dernier point ci-dessus, joint à la section précédente)

${\displaystyle \mathrm {d} h_{x}(h)={\frac {\mathrm {d\,id} _{x}(h)}{\|x\|^{2}}}-x{\frac {\mathrm {d} \langle \cdot ,\cdot \rangle _{(x,x)}(h,h)}{\|x\|^{4}}}={\frac {h}{\|x\|^{2}}}-{\frac {2\langle x,h\rangle }{\|x\|^{4}}}x}$.

Différentielles des fonctions de R^p dans R^q

• Soient ${\displaystyle f:E\to F}$ et ${\displaystyle a}$ un point de ${\displaystyle E}$. On appelle dérivée de ${\displaystyle f}$ au point ${\displaystyle a}$ suivant un vecteur ${\displaystyle h\in E}$ le vecteur dérivé en ${\displaystyle 0}$ (s'il existe) de la fonction ${\displaystyle \mathbb {R} \to F,\ t\mapsto f(a+th)}$ :

  ${\displaystyle Df_{a}(h):=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+th)-f(a)}{t}}\in F}$.

Si ${\displaystyle f}$ admet une différentielle en ${\displaystyle a}$ alors elle admet une dérivée en ${\displaystyle a}$ suivant n'importe quel vecteur ${\displaystyle h}$, et ${\displaystyle Df_{a}(h)=\mathrm {d} f_{a}(h)}$.

• Dans le cas ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{p}}$ et ${\displaystyle h=e_{j}}$ (le ${\displaystyle j}$-ème vecteur de la base canonique de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$), la dérivée au point ${\displaystyle a}$ suivant ce vecteur s'appelle la ${\displaystyle j}$-ème dérivée partielle de ${\displaystyle f}$ au point ${\displaystyle a}$ :

  ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(a):=Df_{a}(e_{j})={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x\mapsto f(a_{1},\dots ,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots ,a_{p})\right]_{x=a_{j}}}$.

Si ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{p}\to F}$ admet une différentielle en ${\displaystyle a}$ alors elle admet des dérivées partielles en ce point, et

${\displaystyle \forall h\in \mathbb {R} ^{p}\quad \mathrm {d} f_{a}(h)=\sum _{j=1}^{p}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(a)h_{j}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\dots &{\frac {\partial f}{\partial x_{p}}}(a)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{p}\end{pmatrix}}}$.

• Lorsque de plus ${\displaystyle F=\mathbb {R} ^{q}}$, le lemme de la section précédente permet de développer un peu plus la différentielle au point ${\displaystyle a}$ (si elle existe) de l'application

  ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{p}\mapsto \mathbb {R} ^{q},\ {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{p}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{p})\\\vdots \\f_{q}(x_{1},\dots ,x_{p})\end{pmatrix}}}$

sous forme matricielle :

${\displaystyle \mathrm {d} f_{a}(h)=J_{f}(a){\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{p}\end{pmatrix}}}$,

où ${\displaystyle J_{f}(a)}$ est la matrice jacobienne de ${\displaystyle f}$ au point ${\displaystyle a}$ :

${\displaystyle J_{f}(a):={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&\dots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{p}}}(a)\\\vdots &&\vdots \\{\dfrac {\partial f_{q}}{\partial x_{1}}}(a)&\dots &{\dfrac {\partial f_{q}}{\partial x_{p}}}(a)\end{pmatrix}}\in M_{q,p}(\mathbb {R} )}$.

Voici un exemple de calcul : la fonction ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} ^{3},\ {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\sin x\\x^{2}+y\\y\mathrm {e} ^{x}\end{pmatrix}}}$ est différentiable en tout point et sa matrice jacobienne s'écrit : ${\displaystyle J_{f}(x,y)={\begin{pmatrix}{\cos x}&0\\2x&1\\ye^{x}&e^{x}\end{pmatrix}}}$.

Remarques importantes :

De ce qui précède, si f est différentiable en un point a alors f admet des dérivées partielles en ce point mais la réciproque est fausse : On considère la fonction f : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} }$ définie par ${\displaystyle f(x,y)=0}$ si ${\displaystyle xy=0}$ et ${\displaystyle f(x,y)=1}$ si ${\displaystyle xy\neq 0}$. On a ${\displaystyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=\lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {f(h,0)}{h}}=0}$ et de même ${\displaystyle {\dfrac {\partial f}{\partial y}}(0,0)=\lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {f(0,h)}{h}}=0}$ : les différentielles partielles existent bien, cependant les nombres 0 et 1 ont des antécédents dans tout voisinage V de l'origine ce qui prouve la discontinuité et donc la non-différentiabilité de f en ce point.

La différentiabilité d'une fonction en un point n'entraîne pas la continuité des dérivées partielles en ce point : la fonction ${\displaystyle f:(x,y)\mapsto y+x^{2}\sin(1/x)}$ si ${\displaystyle (x,y)\neq (0,0)}$, prolongée par ${\displaystyle f(0,0)=0}$, est différentiable en ${\displaystyle (0,0)}$ avec ${\displaystyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=0}$ et ${\displaystyle {\dfrac {\partial f}{\partial y}}(0,0)=1}$, cependant la fonction ${\displaystyle (x,y)\mapsto {\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)}$ n'a pas de limite en ${\displaystyle (0,0)}$.

Théorèmes d'égalité et d'inégalité des accroissements finis

L'expression « accroissement fini » provient d'une époque où en calcul différentiel on faisait une distinction entre les accroissements infinitésimaux dx et les accroissements « finis » x₁ - x₀.

On rappelle le théorème des accroissements finis pour les fonctions à valeurs réelles : Si une fonction continue ${\displaystyle f:\left[a,b\right]\to \mathbb {R} }$ est dérivable sur ${\displaystyle \left]a,b\right[}$, alors il existe ${\displaystyle c\in \left]a,b\right[}$ tel que ${\displaystyle f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)}$.

Le segment de départ ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ est ici supposé réel, mais on peut très facilement étendre ensuite le résultat à un segment d'un espace vectoriel normé, en le paramétrant et en appliquant le théorème de composition ci-dessus. L'égalité obtenue s'écrit alors : ${\displaystyle f(b)-f(a)=\mathrm {d} f_{c}(b-a)}$.

Augmenter la dimension de l'espace d'arrivée est en revanche impossible, comme le montre l'exemple de l'exercice 11.

On conserve cependant la propriété suivante :

Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles

Soient deux réels ${\displaystyle a<b}$, et deux fonctions continues ${\displaystyle f:\left[a,b\right]\to F}$ et ${\displaystyle g:\left[a,b\right]\to \mathbb {R} }$, dérivables sur ${\displaystyle \left]a,b\right[}$.

Si

${\displaystyle \forall t\in \left]a,b\right[\quad \|f'(t)\|\leq g'(t)}$

alors

${\displaystyle \|f(b)-f(a)\|\leq g(b)-g(a).}$

Démonstration

Soient ${\displaystyle \varepsilon >0}$, ${\displaystyle u\in \left]a,b\right[}$, ${\displaystyle \varphi$ :\left[u,b\right]\to \mathbb {R} ,\ t\mapsto \|f(t)-f(a)\|-g(t)-\varepsilon t} , et ${\displaystyle c\in \left[u,b\right]}$ un point en lequel la fonction ${\displaystyle \varphi }$ (continue) atteint son minimum. Montrons par l'absurde que ${\displaystyle c=b}$.

Si au contraire ${\displaystyle \left]c,b\right[}$ était non vide, il contiendrait des réels ${\displaystyle t}$ tels que

${\displaystyle \left\|{\frac {f(t)-f(c)}{t-c}}\right\|-{\frac {\varepsilon }{2}}<\|f'(c)\|\leq g'(c)<{\frac {g(t)-g(c)}{t-c}}+{\frac {\varepsilon }{2}}}$

et l'on aurait alors

${\displaystyle \|f(t)-f(c)\|<g(t)-g(c)+\varepsilon (t-c)}$ donc (par inégalité triangulaire) ${\displaystyle \varphi (t)<\varphi (c)}$,

ce qui contredirait le choix de ${\displaystyle c}$.

On a donc bien ${\displaystyle c=b}$, en particulier ${\displaystyle \varphi (b)\leq \varphi (u)}$, c'est-à-dire

${\displaystyle \|f(b)-f(a)\|\leq \|f(u)-f(a)\|+g(b)-g(u)+\varepsilon (b-u)}$.

On conclut par passage à la limite quand ${\displaystyle u\to a^{+}}$ et ${\displaystyle \varepsilon \to 0^{+}}$.

Remarques

• ${\displaystyle \varphi }$ est en fait strictement décroissante.
• Comme cette démonstration le prouve, le théorème ne nécessite que l'existence de dérivée à droite pour les fonctions ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle f}$.
• On peut de plus supposer seulement que ces dérivées à droite existent (et satisfont l'inégalité) sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable, comme dans le cas où ${\displaystyle f}$ est à valeurs réelles.

 

On en déduit immédiatement, en cascade, trois corollaires :

Corollaire 1

Soient deux réels ${\displaystyle a<b}$, une fonction continue ${\displaystyle f:\left[a,b\right]\to F}$ dérivable sur ${\displaystyle \left]a,b\right[}$ et un réel ${\displaystyle M}$ tel que

${\displaystyle \forall t\in \left]a,b\right[\quad \|f'(t)\|\leq M}$.

Alors,

${\displaystyle \|f(b)-f(a)\|\leq M(b-a)}$.

Corollaire 2

Soit ${\displaystyle f:E\to F}$ une application continue sur un segment ${\displaystyle \left[a,b\right]\subset E}$ et différentiable en tout point de ${\displaystyle \left]a,b\right[}$. Alors,

${\displaystyle \|f(b)-f(a)\|\leq \left(\sup _{x\in \left]a,b\right[}|\!|\!|\mathrm {d} f_{x}|\!|\!|\right)\|b-a\|}$.

Corollaire 3

Soit ${\displaystyle f:\Omega \to F}$ une application différentiable, ${\displaystyle \Omega }$ étant un ouvert connexe de ${\displaystyle E}$.

Si ${\displaystyle \mathrm {d} f=0}$ alors ${\displaystyle f}$ est constante.

Condition suffisante de différentiabilité d'une fonction définie sur un produit

Théorème

Si les dérivées partielles d'une application ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} ^{q}}$ sont définies au voisinage d'un point ${\displaystyle a}$ et continues en ce point, alors ${\displaystyle f}$ est différentiable au point ${\displaystyle a}$.

En effet, le cas général se déduit du cas ${\displaystyle q=1}$, or plus généralement (si ${\displaystyle E_{1},\dots ,E_{p}}$ sont, comme ${\displaystyle F}$, des espaces vectoriels normés) :

Lemme

Si les dérivées partielles d'une application ${\displaystyle f:E_{1}\times \dots \times E_{p}\to F}$ sont définies au voisinage d'un point ${\displaystyle a}$ et continues en ce point, alors ${\displaystyle f}$ est différentiable au point ${\displaystyle a}$.

Application deux fois différentiable, différentielle seconde

Soit f : U ${\displaystyle \subset }$ E ${\displaystyle \mapsto }$ F une fonction différentiable en un point a ${\displaystyle \in }$ U. Il se peut que la fonction df : x ${\displaystyle \mapsto }$ df_x soit définie dans un voisinage V ${\displaystyle \subset }$ U avec a ${\displaystyle \in }$ V et différentiable en a. Sa différentielle d(df)_a se note alors d²f_a et s’appelle la différentielle seconde ou d'ordre 2 de f en a : df_a+h = df_a +d²f_a(h) +‖h‖_E ε(h) avec ${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0_{E}}\varepsilon (h)=0_{{\mathcal {L}}(E,F)}}$. Il faut noter que d²f_a ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$(E, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$(E, F)) autrement dit, pour tout h ${\displaystyle \in }$ E on a d²f_a(h) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$(E, F). L'application (h, k) ${\displaystyle \mapsto }$ d²f_a(h)(k) est linéaire à la fois en h et en k. Les espaces ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$(E, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$(E, F)) et ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$(E, E; F) (l'espace des applications bilinéaires continues de E × E dans F) sont isomorphes si bien que d²f_a s'identifie à un élément de ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$(E, E; F). En effet, l’application L : ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$(E, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$(E, F)) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$(E, E; F)) définie par L(f)(h, k) = f(h)(k) est une application linéaire bijective, sa réciproque L^-1 : ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$(E, E; F)) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$(E, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$(E, F)) étant définie par L^-1(g)(h)(k) = g(h, k). On notera donc par abus d'écriture d²f_a(h)(k) = d²f_a(h, k).