Pour simplifier les notations, supposons ${\displaystyle t_{0}=0}$ et ${\displaystyle x_{0}=0}$ (on se ramène facilement à ce cas par translations).

Soient ${\displaystyle M\geq 1,R>0,k>0}$ des réels tels que sur ${\displaystyle \left[-R,R\right]\times B_{F}\left(0,R\right)}$, ${\displaystyle f}$ est définie, de norme ${\displaystyle \leq M}$ et ${\displaystyle k}$-lipschitzienne par rapport à sa seconde variable puis, soit ${\displaystyle r}$ un réel strictement compris entre ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle \min \left(R/M,1/k\right)}$.

Notons ${\displaystyle F}$ l'espace des fonctions continues de ${\displaystyle \left[-r,r\right]}$ dans la boule fermée ${\displaystyle B_{F}\left(0,R\right)}$ et pour toute application ${\displaystyle u\in F}$, définissons ${\displaystyle \Phi \left(u\right):\left[-r,r\right]\to E}$ par :

${\displaystyle \Phi \left(u\right)\left(t\right)=\int _{0}^{t}f\left(s,u\left(s\right)\right)\,\mathrm {d} s}$.

Par construction, ${\displaystyle \Phi \left(u\right)\in F}$ et la fonctionnelle ${\displaystyle \Phi :F\to F}$ est contractante car ${\displaystyle rk}$-lipschitzienne (${\displaystyle F}$ étant, naturellement, muni de la norme de la convergence uniforme, pour laquelle il est complet).

D'après le théorème de Picard-Banach, ${\displaystyle \Phi }$ admet donc un point fixe ${\displaystyle x}$, qui est ipso facto solution du problème de Cauchy sur ${\displaystyle \left[-r,r\right]}$.

Toute solution sur un sous-intervalle contenant ${\displaystyle 0}$, disons par exemple sur ${\displaystyle \left[0,r'\right]}$ avec ${\displaystyle r'\leq r}$, est une restriction de ${\displaystyle x}$, par unicité du point fixe pour la fonctionnelle définie de la même façon que ${\displaystyle \Phi }$ sur l'espace des fonctions continues de ${\displaystyle \left[0,r'\right]}$ dans ${\displaystyle B_{F}\left(0,R\right)}$. En effet, une solution ${\displaystyle y}$ sur ${\displaystyle \left[0,r'\right]}$ ne peut pas sortir de ${\displaystyle B_{F}\left(0,R\right)}$ car sinon, en notant ${\displaystyle \left[0,r''\right]}$ le plus grand sous-intervalle contenant ${\displaystyle 0}$ sur lequel ${\displaystyle y}$ reste dans ${\displaystyle B_{F}\left(0,R\right)}$, on trouverait

${\displaystyle R=\left\|y\left(r''\right)\right\|=\left\|\int _{0}^{r''}f\left(s,y\left(s\right)\right)\,\mathrm {d} s\right\|\leq r''M<r''R/r}$

donc ${\displaystyle r''>r}$, ce qui est contraire à l'hypothèse ${\displaystyle r''\leq r'\leq r}$.

Commençons par un lemme :

• Soient s₁ et s₂ deux solutions du problème de Cauchy. Sur l'intersection des deux intervalles de définition, s₁ et s₂ coïncident :
  Supposons (à nouveau et sans perte de généralité) que t₀ = 0 et notons I l'intersection des deux intervalles. Soit b la borne supérieure de l'ensemble des éléments positifs a de I pour lesquels s₁ et s₂ coïncident sur [0, a] (il en existe au moins un : a = 0). Si b appartient à I alors, par continuité, s₁ et s₂ coïncident sur [0, b] et, par unicité locale à droite, b est nécessairement le plus grand élément de I ; si b n'appartient pas à I, il en est la borne supérieure. Dans les deux cas, s₁ et s₂ coïncident sur l'ensemble des éléments positifs de I. On procède de même pour les éléments négatifs.
• Toutes les solutions de ce problème de Cauchy sont restrictions d'une même solution :
  Soient J l'intervalle réunion de tous les intervalles de définition de solutions de ce problème et s l'application définie sur J par : s(t) = la valeur au point t de n'importe laquelle des solutions définies en t (toutes ces valeurs coïncident d'après le lemme). Par construction, s est le prolongement commun annoncé.
• L'intervalle de définition de la solution maximale est ouvert :
  Par contraposée, montrons que si l'intervalle de définition I d'une solution s n'est pas ouvert alors s n'est pas la solution maximale. Supposons par exemple que I possède un plus grand élément t₁ (on procèderait de même si I possède un plus petit élément). L'existence locale montre qu'il existe une solution de l'équation différentielle, définie sur un intervalle ouvert centré en t₁ et coïncidant avec s au point t₁. Il est donc possible de prolonger s en une solution définie à droite de t₁, si bien que s n'est pas la solution maximale.

On reprend la preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz, en prenant cette fois pour F l'espace des applications continues sur un segment arbitraire [t₀ – T_–, t₀ + T₊] de I, à valeurs dans E. Si, pour tout t de ce segment, f(t, ∙) est K-lipschitzienne alors, en notant Φ la fonctionnelle définie sur F par la même formule que précédemment, on vérifie sans peine que sa p-ième itérée Φ^p est K_p-lipschitzienne pour K_p := K^pmax(T_–, T₊)^p/p!. La série correspondante étant convergente, on a K_p < 1 pour p assez grand. Le théorème de point fixe pour une application dont une itérée est contractante s'applique alors et fournit un point fixe pour Φ. La solution maximale du problème de Cauchy étant par conséquent définie sur tout segment de I, elle est globale.

Affinons la démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz local (voir supra), en supposant à nouveau, pour alléger les notations mais sans perte de généralité, ${\displaystyle \left(t_{0},x_{0}\right)=\left(0,0\right)}$.

Soient ${\displaystyle m,R,k>0}$ des réels tels que, en notant B la boule fermée ${\displaystyle B_{F}\left(0,2R\right)}$, ${\displaystyle f}$ est définie sur ${\displaystyle \left[-R,R\right]\times 2B}$, de norme ${\displaystyle \leq m}$ et ${\displaystyle k}$-lipschitzienne par rapport à sa seconde variable puis, soit ${\displaystyle r}$ un réel strictement compris entre ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle \min \left({\frac {R}{2m}},{\frac {m}{2k\left(m+1\right)}}\right)}$.

Notons ${\displaystyle G}$ l'espace des fonctions continues de ${\displaystyle \left[-r,r\right]^{2}\times B}$ dans 2B, (m + 1)-lipschitziennes par rapport à la troisième variable et telles que l'image de tout triplet de la forme (t, t, x) soit égale à x. Cet espace est complet pour la norme uniforme car, 2B étant complet, l'espace des fonctions continues de ${\displaystyle \left[-r,r\right]^{2}\times B}$ dans 2B l'est aussi, or G est fermé dans cet espace, pour la topologie de la convergence uniforme et même pour celle de la convergence simple, comme intersection des fermés suivants :

• pour tout ${\displaystyle \left(t,x\right)\in \left[-r,r\right]\times B}$, l'ensemble des fonctions u telles que u(t, t, x) = x
• pour tout ${\displaystyle \left(s,t\right)\in \left[-r,r\right]^{2}}$ et toute paire {x, y} de points de B, l'ensemble des fonctions u telles que ║u(s, t, x) – u(s, t, y)║ ≤ (m + 1)║x – y║.

Pour toute application ${\displaystyle u\in G}$, définissons ${\displaystyle \Psi _{u}:\left[-r,r\right]^{2}\times B\to E}$ par :

${\displaystyle \Psi _{u}\left(s,t,x\right)=x+\int _{t}^{s}f\left(\tau ,u\left(\tau ,t,x\right)\right)\,\mathrm {d} \tau }$.

Alors, ${\displaystyle \Psi _{u}\in G}$ car :

• ${\displaystyle \Psi _{u}}$ est continue, par continuité de ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle u}$ (par rapport à sa première variable, elle est même m-lipschitzienne) ;
• ${\displaystyle \left\|\Psi _{u}\left(s,t,x\right)\right\|\leq \left\|x\right\|+\left|\int _{t}^{s}\left\|f\left(\tau ,u\left(\tau ,t,x\right)\right)\right\|\,\mathrm {d} \tau \right|\leq R+2rm<2R}$ ;
• ${\displaystyle \Psi _{u}\left(t,t,x\right)=x}$ ;
• ${\displaystyle \Psi _{u}}$ est (m + 1)-lipschitzienne par rapport à sa troisième variable :
  ${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\Psi _{u}\left(s,t,x_{2}\right)-\Psi _{u}\left(s,t,x_{1}\right)\right\|&\leq \left\|x_{2}-x_{1}\right\|+\left|\int _{t}^{s}\left\|f\left(\tau ,u\left(\tau ,t,x_{2}\right)\right)-f\left(\tau ,u\left(\tau ,t,x_{1}\right)\right)\right\|\,\mathrm {d} \tau \right|\\&\leq \left\|x_{2}-x_{1}\right\|+k\left|\int _{t}^{s}\left\|u\left(\tau ,t,x_{2}\right)-u\left(\tau ,t,x_{1}\right)\right\|\,\mathrm {d} \tau \right|\\&\leq \left\|x_{2}-x_{1}\right\|\left(1+2rk\left(m+1\right)\right)\\&\leq \left\|x_{2}-x_{1}\right\|\left(1+m\right).\end{aligned}}}$

La fonction ${\displaystyle \Psi :G\to G}$ ainsi définie est contractante, car

${\displaystyle \left\|\Psi _{u}\left(s,t,x\right)-\Psi _{v}\left(s,t,x\right)\right\|=\left\|\int _{t}^{s}\left(f\left(\tau ,u\left(\tau ,t,x\right)\right)-f\left(\tau ,v\left(\tau ,t,x\right)\right)\right)\,\mathrm {d} \tau \right\|\leq k\left|\int _{t}^{s}\left\|u\left(\tau ,t,x\right)-v\left(\tau ,t,x\right)\right\|\,\mathrm {d} \tau \right|\leq 2rk\|u-v\|}$ et ${\displaystyle 2rk\leq {\frac {m}{m+1}}<1}$.

D'après le théorème de Picard-Banach, ${\displaystyle \Psi }$ admet donc un point fixe ${\displaystyle u\in G}$, qui est ipso facto une restriction de ${\displaystyle \alpha }$ à ${\displaystyle \left[-r,r\right]^{2}\times B}$. Comme ${\displaystyle u}$ est égale à ${\displaystyle \Psi _{u}}$, elle est lipschitzienne par rapport à ses première et troisième variables. Elle est également lipschitzienne par rapport à la seconde lorsqu'on la restreint à ${\displaystyle \left[-r,r\right]\times \left[-r/2,r/2\right]\times B/2}$ car pour ${\displaystyle \left|t_{1}\right|,\left|t_{2}\right|\leq r/2}$ et ${\displaystyle \left\|x\right\|\leq R/2}$, on a ${\displaystyle \left\|u\left(t_{2},t_{1},x\right)\right\|\leq R}$, ce qui permet d'écrire :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|u\left(s,t_{2},x\right)-u\left(s,t_{1},x\right)\right\|&=\left\|u\left(s,t_{2},x\right)-u\left(s,t_{2},u\left(t_{2},t_{1},x\right)\right)\right\|\\&\leq \left(m+1\right)\left\|x-u\left(t_{2},t_{1},x\right)\right\|\\&\leq \left(m+1\right)m\left|t_{2}-t_{1}\right|.\end{aligned}}}$

Inspiré de Serge Lang, Real and Functional Analysis, coll. « Graduate Texts in Mathematics » (n^o 142), 1993, 3^e éd., 580 p. [lire en ligne], p. 377-378 , qui ne traite cependant que le cas d'une équation différentielle autonome, et avec une fonction ${\displaystyle f}$ au moins de classe C¹.

Soient :

• ${\displaystyle \left(s_{0},t_{0},x_{0}\right)}$ un élément de cet ensemble, avec par exemple ${\displaystyle s_{0}\geq t_{0}}$ ;
• ${\displaystyle \left]a,b\right[}$ l'intervalle de définition de la solution maximale ${\displaystyle \alpha \left(\cdot ,t_{0},x_{0}\right)}$ ;
• ${\displaystyle J}$ l'ensemble des réels ${\displaystyle s\in \left[t_{0},b\right[}$ pour lesquels ${\displaystyle \alpha }$ est défini et lipschitzien au voisinage de ${\displaystyle \left[t_{0},s\right]\times \{\left(t_{0},x_{0}\right)\}}$ : c'est un intervalle qui, d'après le lemme, contient ${\displaystyle t_{0}}$.

Notons ${\displaystyle b':=\sup J}$ et démontrons par l'absurde que ${\displaystyle b'=b}$ (ce qui prouvera que ${\displaystyle s_{0}\in J}$ et conclura).

Supposons que ${\displaystyle b'<b}$, et notons alors ${\displaystyle x':=\alpha \left(b',t_{0},x_{0}\right)}$.

À nouveau d'après le lemme, ${\displaystyle \alpha }$ est défini et lipschitzien sur ${\displaystyle I_{b'}^{2}\times O}$, pour un certain intervalle ouvert ${\displaystyle I_{b'}\ni b'}$ et un certain ouvert ${\displaystyle O\ni x'}$. Choisissons ${\displaystyle b''\in J\cap I_{b'}}$ tel que ${\displaystyle x'':=\alpha \left(b'',t_{0},x_{0}\right)\in O}$.

Puisque ${\displaystyle b''\in J}$, le flot ${\displaystyle \alpha }$ est défini et lipschitzien sur ${\displaystyle J_{b''}\times U}$, pour un certain intervalle ouvert ${\displaystyle J_{b''}\supset \left[t_{0},b''\right]}$ et un certain voisinage ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle \left(t_{0},x_{0}\right)}$.

Pour ${\displaystyle \left(t,x\right)\in V\subset U}$, voisinage suffisamment petit de ${\displaystyle \left(t_{0},x_{0}\right)}$, le vecteur ${\displaystyle \alpha \left(b'',t,x\right)}$ est suffisamment proche de ${\displaystyle x''}$ pour appartenir à ${\displaystyle O}$. Le flot composé ${\displaystyle \left(s,t,x\right)\mapsto \alpha \left(s,b'',\alpha \left(b'',t,x\right)\right)}$ est alors défini et lipschitzien sur ${\displaystyle I_{b'}\times V}$. Il coïncide avec ${\displaystyle \alpha }$ sur ${\displaystyle \left(J_{b''}\cap I_{b'}\right)\times V}$, par unicité, sur l'intervalle ${\displaystyle {J_{b''}\cap I_{b'}}\ni b''}$, de toute solution d'un problème de Cauchy associé à ${\displaystyle f}$.

Par recollement, ${\displaystyle \alpha }$ est donc en fait défini et lipschitzien sur ${\displaystyle \left(J_{b''}\cup I_{b'}\right)\times V}$, voisinage de ${\displaystyle \left[t_{0},s\right]\times \{\left(t_{0},x_{0}\right)\}}$ pour des ${\displaystyle s>b'}$, ce qui contredit la définition de ${\displaystyle b'}$ et termine ainsi la preuve par l'absurde.

Références :

• Pour le point 1, sous l'hypothèse plus forte que ${\displaystyle f}$ est de classe C¹ : Joel W. Robbin, « On the existence theorem for differential equations », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 19, 1968 [texte intégral]. Voir aussi Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, EDP Sciences, 2010 [lire en ligne], p. 44-45 , qui s'en inspire. Mais surtout pas Lang, qui déforme l'idée de Robbin, ce qui l'oblige à un long funambulisme.
• Pour le point 3 : Frédéric Paulin, « Topologie, analyse et calcul différentiel », École Normale Supérieure, 2008, p. 270.

1. Montrons d'abord que si ${\displaystyle \operatorname {d} _{2}f}$ est continue alors ${\displaystyle \beta$ :\left(t,x\right)\mapsto \alpha \left(t,t_{0},x\right)} est de classe C¹ au voisinage de ${\displaystyle \left(t_{0},x_{0}\right)}$.
   • Supposons, pour alléger les notations mais sans perte de généralité, à nouveau que ${\displaystyle \left(t_{0},x_{0}\right)=\left(0,0\right)}$ et de plus (par homothéties sur les deux variables) que ${\displaystyle \gamma _{0}:=\beta \left(\cdot ,0\right)=\alpha \left(\cdot ,0,0\right)}$ est définie au moins de ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$ dans B et que ${\displaystyle \left[-1,1\right]\times 2B\subset \Omega }$, où ${\displaystyle B}$ désigne cette fois la boule ouverte ${\displaystyle B\left(0,1\right)}$ de ${\displaystyle E}$.
     Fixons ${\displaystyle \varepsilon \in \left]0,1\right]}$ et notons ${\displaystyle I}$ l'intervalle réel ${\displaystyle \left[-\varepsilon ,\varepsilon \right]}$, ${\displaystyle C_{0}^{1}\left(I,E\right)}$ l'espace de Banach des fonctions ${\displaystyle \gamma \in C^{1}\left(I,E\right)}$ telles que ${\displaystyle \gamma \left(0\right)=0}$ (muni de la norme ${\displaystyle \left\|\gamma \right\|_{1}:=\left\|\gamma '\right\|_{0}}$, où ${\displaystyle \left\|~\right\|_{0}}$ est la norme de la convergence uniforme) et ${\displaystyle C_{0}^{1}\left(I,B\right)}$ l'ouvert de celles à valeurs dans ${\displaystyle B}$.
   • L'application ${\displaystyle D:C_{0}^{1}\left(I,E\right)\to C^{0}\left(I,E\right),\ \gamma \mapsto \gamma '}$ est un isomorphisme isométrique.
     Considérons les applications ${\displaystyle \Delta ,F:B\times C_{0}^{1}\left(I,B\right)\to C^{0}\left(I,E\right)}$ définies par ${\displaystyle \Delta \left(x,\gamma \right)\left(t\right)=f\left(t,x+\gamma \left(t\right)\right)}$ et ${\displaystyle F=D-\Delta }$. On a ${\displaystyle F\left(x,\gamma \right)=0}$ si et seulement si la fonction ${\displaystyle x+\gamma }$ est une solution sur ${\displaystyle I}$ du problème de Cauchy ${\displaystyle y'=f\left(t,y\right),\ y\left(0\right)=x}$, et l'on cherche à appliquer le théorème des fonctions implicites au voisinage de ${\displaystyle \left(0,\gamma _{0}\right)}$.
   • ${\displaystyle \Delta }$ est de classe C¹ (cf. exercices sur la différentiabilité) et ${\displaystyle D_{2}\Delta _{\left(0,\gamma _{0}\right)}\left(\delta \right)\left(t\right)=D_{2}f_{\left(t,\gamma _{0}\left(t\right)\right)}\left(\delta \left(t\right)\right)}$ donc, en notant ${\displaystyle C=\max _{t\in \left[-1,1\right]}|\!|\!|D_{2}f_{\left(t,\gamma _{0}\left(t\right)\right)}|\!|\!|}$ : ${\displaystyle \left\|D_{2}\Delta _{\left(0,\gamma _{0}\right)}\left(\delta \right)\right\|_{0}\leq C\left\|\delta \right\|_{0}\leq \varepsilon C\left\|\delta \right\|_{1}}$, si bien que ${\displaystyle |\!|\!|D_{2}\Delta _{\left(0,\gamma _{0}\right)}|\!|\!|\leq \varepsilon C}$. Par conséquent, pour ${\displaystyle \varepsilon <1/C}$, ${\displaystyle D_{2}F_{\left(0,\gamma _{0}\right)}=D-D_{2}\Delta _{\left(0,\gamma _{0}\right)}}$ est un isomorphisme (cf. cet exercice du chapitre « Différentiabilité »).
     Le théorème des fonctions implicites fournit alors un voisinage U×V de ${\displaystyle \left(0,\gamma _{0}\right)}$ dans ${\displaystyle B\times C_{0}^{1}\left(I,B\right)}$ et une fonction ${\displaystyle \Psi :U\to V}$ de classe C¹, tels que :
     ${\displaystyle \forall x\in U\quad \forall \gamma \in V\quad F\left(x,\gamma \right)=0\Leftrightarrow \gamma =\Psi \left(x\right)}$.
     Par conséquent :
     ${\displaystyle \forall t\in I\quad \forall x\in U\quad \beta \left(t,x\right)=x+\Psi \left(x\right)\left(t\right)}$.
     L'application d'évaluation ${\displaystyle C_{0}^{1}\left(I,B\right)\times I\to E,\ \left(\gamma ,t\right)\mapsto \gamma \left(t\right)}$ étant de classe C¹ (c'est un exercice sur la différentiabilité), β est bien de classe C¹.
2. Explicitons les deux différentielles partielles de ${\displaystyle \beta$ :\left(t,x\right)\mapsto \alpha \left(t,t_{0},x\right)} , afin de montrer qu'elles sont continues non seulement par rapport à ${\displaystyle \left(t,x\right)}$ mais par rapport à ${\displaystyle \left(t,t_{0},x\right)}$.
   • Pour la première, c'est immédiat : ${\displaystyle D_{1}\beta \left(t,x\right)=f\left(t,\alpha \left(t,t_{0},x\right)\right)}$.
   • Pour calculer la seconde, dérivons l'intégrale par rapport au paramètre ${\displaystyle x}$ dans l'égalité ${\displaystyle \beta \left(t,x\right)=x+\int _{t_{0}}^{t}f\left(s,\beta \left(s,x\right)\right)\ \mathrm {d} s}$.
     On obtient ainsi ${\displaystyle D_{2}\beta \left(t,x\right)=\mathrm {Id} _{E}+\int _{t_{0}}^{t}D_{2}f\left(s,\beta \left(s,x\right)\right)\circ D_{2}\beta \left(s,x\right)\ \mathrm {d} s}$
     puis, comme le membre de droite est dérivable par rapport à ${\displaystyle t}$ :${\displaystyle D_{1}D_{2}\beta \left(t,x\right)=D_{2}f\left(t,\beta \left(t,x\right)\right)\circ D_{2}\beta \left(t,x\right)}$,
     ce qui prouve que la fonction ${\displaystyle s\mapsto D_{2}\beta \left(t_{0}+s,x\right)=D_{3}\alpha \left(t_{0}+s,t_{0},x\right)}$ est la solution qui vaut ${\displaystyle \mathrm {Id} _{E}}$ en ${\displaystyle 0}$ de l'équation différentielle (linéaire et à paramètres ${\displaystyle \left(t_{0},x\right)}$)
     ${\displaystyle y'=F\left(s,t_{0},x,y\right)}$
     où ${\displaystyle F}$ est la fonction continue ${\displaystyle \left(s,t_{0},x,L\right)\mapsto D_{2}f\left(t_{0}+s,\alpha \left(t_{0}+s,t_{0},x\right)\right)\circ L}$. Comme ${\displaystyle F}$ est localement lipschitzienne par rapport à ${\displaystyle L}$, la solution de ce problème de Cauchy est bien continue par rapport à ${\displaystyle \left(s,t_{0},x\right)}$.
3. On a donc à présent : ${\displaystyle D_{1}\alpha }$ et ${\displaystyle D_{3}\alpha }$ sont définies et continues (au voisinage de ${\displaystyle \left(t_{0},t_{0},x_{0}\right)}$). Pour montrer que ${\displaystyle D_{2}\alpha }$ l'est également, remarquons que pour ${\displaystyle y=\alpha \left(s,t,x\right)}$ avec ${\displaystyle \left(s,t,x\right)}$ suffisamment proche de ${\displaystyle \left(t_{0},t_{0},x_{0}\right)}$, on a ${\displaystyle \alpha \left(t,s,y\right)=x}$ et ${\displaystyle D_{3}\alpha _{\left(t,s,y\right)}}$ est inversible. D'après le théorème des fonctions implicites (avec ${\displaystyle s}$ et ${\displaystyle x}$ fixés), ${\displaystyle D_{2}\alpha \left(s,t,x\right)}$ existe donc et est égal à ${\displaystyle -\left(D_{3}\alpha _{\left(t,s,y\right)}\right)^{-1}\left(D_{1}\alpha \left(t,s,y\right)\right)=-D_{3}\alpha _{\left(t,s,x\right)}\left(f\left(t,x\right)\right)}$, qui est bien une fonction continue de ${\displaystyle \left(s,t,x\right)}$.

Le théorème est donc démontré dans le cas ${\displaystyle p=0}$. Le cas général s'en déduit facilement par récurrence sur ${\displaystyle p}$, en réutilisant les expressions ci-dessus des trois différentielles partielles de ${\displaystyle \alpha }$.

La seule propriété non immédiate (la dernière) résulte du calcul suivant, qui utilise la différentielle de l'application ${\displaystyle T\mapsto T^{-1}}$ (définie sur ${\displaystyle {\mathcal {GL}}\left(E\right)}$) :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}R\left(t,s\right)={\frac {\partial }{\partial s}}R^{-1}\left(s,t\right)=-R^{-1}\left(s,t\right)\circ {\frac {\partial }{\partial s}}R\left(s,t\right)\circ R^{-1}\left(s,t\right)=-R\left(t,s\right)\circ a\left(s\right)}$.