1. Soit ${\displaystyle y\in {B(a,r)\cap B(a',r')}}$ avec ${\displaystyle r\leq r'}$. Alors, ${\displaystyle d(a,x)<r\Rightarrow d(x,y)\leq \max(d(x,a),d(a,y))<r\Rightarrow d(a',x)\leq \max(d(a',y),d(y,x))<r'}$ donc ${\displaystyle B(a,r)\subset B(a',r')}$. La démonstration s'adapte facilement au cas de boules fermées.
2. Soit ${\displaystyle x\in B(a,r)}$. D'après la question précédente, puisque ${\displaystyle B(a,r)}$ et ${\displaystyle B(x,r)}$ ont ${\displaystyle x}$ en commun, et qu'elles ont même rayon, elles sont incluses l'une dans l'autre donc égales.
3. La boule fermée ${\displaystyle B_{F}(a,r)}$ est un ouvert, car si ${\displaystyle x\in B_{F}(a,r)}$ alors ${\displaystyle B(x,r)\subset B_{F}(a,r)}$, puisque ${\displaystyle B_{F}(x,r)=B_{F}(a,r)}$ d'après la question précédente.
4. Soit U le complémentaire de la boule ouverte ${\displaystyle B(a,r)}$. Si ${\displaystyle x\in U}$, alors ${\displaystyle B(x,r/2)\subset U}$. En effet, sinon, ${\displaystyle B(a,r)}$ et ${\displaystyle B(x,r/2)}$ auraient un point commun, ce qui impliquerait d'après la question 2 que ${\displaystyle B(x,r/2)\subset B(a,r)}$, alors que ${\displaystyle x}$ est dans la première boule mais pas dans la seconde. Il en résulte que U est un ouvert, donc la boule ouverte ${\displaystyle B(a,r)}$ est fermée.
5. Notons a, b, c les longueurs des trois côtés d'un triangle, avec par exemple a ≥ b ≥ c. Puisque de plus a ≤ max(b, c) = b, on a a = b.
6. Supposons que ${\displaystyle d(x_{n},x_{n+1})\to 0}$. Pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, il existe donc ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ tel que ${\displaystyle \forall q\geq N\quad d(x_{q},x_{q+1})<\varepsilon }$. Montons par récurrence que ${\displaystyle \forall q\geq N\quad d(x_{N},x_{q})<\varepsilon }$. Cette propriété est vérifiée pour ${\displaystyle q=N}$. Si elle est vérifiée pour un certain ${\displaystyle q\geq N}$, alors elle l'est encore au rang ${\displaystyle q+1}$ car ${\displaystyle d(x_{N},x_{q+1})\leq \max \left[d(x_{N},x_{q}),d(x_{q},x_{q+1})\right]<\varepsilon }$. On a donc montré que ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall q\geq N\quad d(x_{N},x_{q})<\varepsilon }$, ce qui prouve que ${\displaystyle (x_{n})}$ est de Cauchy.

Soient ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)\in \Omega }$ et ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Il existe des réels ${\displaystyle k,R>0}$ et un voisinage ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle x_{0}}$ tels que :

• ${\displaystyle V\times B\left(y_{0},R\right)\subset \Omega }$ ;
• ${\displaystyle \forall x\in V\quad d\left(f\left(x,y_{0}\right),f\left(x_{0},y_{0}\right)\right)<\varepsilon }$ ;
• pour tout ${\displaystyle x\in V}$, ${\displaystyle f\left(x,\cdot \right)}$ soit ${\displaystyle k}$-lipschitzienne sur ${\displaystyle B\left(y_{0},R\right)}$ ;
• ${\displaystyle kR\leq \varepsilon }$.

Alors, pour tout ${\displaystyle \left(x,y\right)\in V\times B\left(y_{0},R\right)}$ :

${\displaystyle d\left(f\left(x,y\right),f\left(x_{0},y_{0}\right)\right)\leq d\left(f\left(x,y\right),f\left(x,y_{0}\right)\right)+d\left(f\left(x,y_{0}\right),f\left(x_{0},y_{0}\right)\right)<kd\left(y,y_{0}\right)+\varepsilon \leq 2\varepsilon }$.

L'existence d'une telle application ${\displaystyle \omega }$ équivaut à :

${\displaystyle \lim _{t\to 0}\sup _{d_{X}(x,a)\leq t}d_{Y}\left(f(x),f(a)\right)=0}$,

qui exprime la continuité de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle a}$.

1. Par densité de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle d(x,\mathbb {Q} )=0}$ pour tout réel ${\displaystyle x}$.
2. Soient ${\displaystyle a_{n}\in A}$ tels que ${\displaystyle d(x,a_{n})\to d(x,A)}$. La suite ${\displaystyle (a_{n})}$ est alors bornée donc (théorème de Bolzano-Weierstrass) on peut en extraire une sous-suite convergente. La limite ${\displaystyle y}$ répond alors au problème.
3. ${\displaystyle d(x,A)=0\Leftrightarrow }$ il existe une suite ${\displaystyle (a_{n})}$ d'éléments de ${\displaystyle A}$ telle que ${\displaystyle d(x,a_{n})\to 0\Leftrightarrow x}$ est limite d'une suite d'éléments de ${\displaystyle A\Leftrightarrow x\in {\overline {A}}}$.
4. De ${\displaystyle \forall a\in A\quad d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)}$ on déduit ${\displaystyle d(x,A)\leq d(x,y)+d(y,A)}$, ou encore : ${\displaystyle d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y)}$.
   De même, ${\displaystyle d(y,A)-d(x,A)\leq d(y,x)=d(x,y)}$.
   Finalement, ${\displaystyle |d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y)}$.
   Remarque : en particulier, pour tout ${\displaystyle a\in E}$, l'application ${\displaystyle E\to \mathbb {R} ,\;x\mapsto d(x,a)}$ est ${\displaystyle 1}$-lipschitzienne.
5. L'application ${\displaystyle x\mapsto d(x,A)}$ étant continue, elle atteint son inf sur ${\displaystyle B}$, c'est-à-dire qu'il existe ${\displaystyle b_{0}\in B}$ tel que ${\displaystyle \forall b\in B\quad d(b_{0},A)\leq d(b,A)}$.
   Puisque ${\displaystyle A}$ est fermé et ${\displaystyle b_{0}\notin A}$, la constante ${\displaystyle \delta$ :=d(b_{0},A)} est non nulle d'après la question 3 (donc ${\displaystyle \delta >0}$).
   ${\displaystyle \forall (a,b)\in A\times B\quad d(a,b)=d(b,a)\geq d(b,A)\geq \delta }$.
6. Dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ : ${\displaystyle A=}$ une hyperbole et ${\displaystyle B=}$ l'une de ses deux asymptotes. Ou même dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ : ${\displaystyle A=\mathbb {N} }$ et ${\displaystyle B=\{n+1/n\mid n\in \mathbb {N} ,\;n\geq 2\}}$.