Chiffre

Toutefois, quand il ne s'agit pas de mathématiques, par synecdoque, le mot « chiffre » se trouve dans de nombreuses expressions avec le sens de « nombre ». Le Dictionnaire de l'Académie française indique comme second sens du mot « chiffre » : « Le nombre que figurent les chiffres ; le montant total. Le chiffre de la population d'un pays, le nombre de ses habitants. COMMERCE. Chiffre d'affaires, montant des recettes d'un exercice annuel[5] ». On dit couramment « chiffrer », « chiffrage » pour des opérations de dénombrement ou de quantification[6]. En démographie, on parle des « chiffres de la population » et non des « nombres de la population[7] » ; et, en économie, de « chiffre d'affaires », et non de « nombre d'affaires ». Cette confusion commune gêne, dans le cadre scolaire, l'enseignement de la notion de nombre[3].

Avec la notation additive, on calcule le nombre en ajoutant la valeur de chacun des chiffres écrits. La numération égyptienne, décimale, a des chiffres de valeur 1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000.

Pour éviter une longue succession de chiffres identiques, un système additif peut employer des chiffres de valeur inférieure à la base de la numération. C'est le cas pour la numération romaine, qui, tout en étant décimale, utilise des chiffres de valeur un, cinq, dix, cinquante, cent, cinq cents, mille. Cette dernière connaît aussi une variante dans laquelle on n'ajoute la valeur d'une suite de chiffres identiques que si celui qui la suit est d'un ordre inférieur, sinon on la retranche^{[réf. souhaitée]}.

Les numérations alphabétiques, quant à elles, utilisent des chiffres pour les différents multiples des puissances de β. Ainsi, la numération hébraïque, par exemple, utilise des chiffres pour les unités (1, 2, 3..., 9), dizaines (10, 20, 30..., 90) et centaines (100, 200, 300..., 900). La numération alphabétique grecque utilise des chiffres pour les mêmes valeurs, et poursuit avec les milliers (1000, 2000, 3000..., 9000)^{[réf. souhaitée]}.

Les systèmes hybrides nécessitent, pour une base β, des chiffres allant de 1 à β-1, plus des chiffres pour représenter les puissances successives β. Ces systèmes sont multiplicatifs et additifs : chaque chiffre utilisé représentant une puissances de β est, au besoin, précédé d'un chiffre représentant une unité (à partir de 2). La valeur du nombre est alors égal à la somme des nombres et produits de nombres en présence.

Les systèmes positionnels utilisent, en principe, β chiffres, de 0 à β-1, pour une base β. Le nombre de chiffres peut néanmoins être plus réduit.

• Une base auxiliaire peut être utilisée. C'est le cas de la numération mésopotamienne, sexagésimale, qui utilise une base auxiliaire décimale. Cette numération utilise ainsi des chiffres pour les unités et pour les dizaines.

Comme le suggère la dénomination, dans un système de numération positionnel, une combinaison de chiffres représente un nombre différent selon la position qu'occupent ces chiffres. Dans une séquence de chiffres, les positions successives ont une valeur égale aux puissances successives de la base. La valeur totale d'un nombre est calculée en multipliant chacun des chiffres par la valeur de sa position, et en additionnant les résultats.

Par exemple, dans la séquence 153, le chiffre 3 occupe la première position qui, quelle que soit la base β, a pour valeur β⁰=1. Le chiffre 5 occupe la deuxième position, qui a pour valeur β¹ = β. Et le chiffre 1 occupe la troisième position, qui a pour valeur β².

Dans le cas d'une base dix, 153 vaut :

(3 × 10⁰) + (5 × 10¹) + (1 × 10²)

= (3 × 1) + (5 × 10) + (1 × 100)

= 3 + 50 + 100 = 153.

Enfin, pour des raisons de lisibilité, les chiffres peuvent être séparés par petits groupes au-delà d'un certain seuil. Le système de numération indo-arabe fait souvent intervenir, selon ce principe, un séparateur de positions. Le symbole utilisé pour cela est purement conventionnel ; la convention, et donc le symbole employé, varie d'ailleurs selon les pays.

Le mot « chiffre » (chiffre, Philippe de Commynes, 1486), qui a probablement subi l'influence du picard pour la modification de la consonne initiale[8], provient de l'ancien français cifre (cifre, Gauthier de Coincy, 1220), d'après l'italien cifra, issu du latin médiéval cifra, lui-même emprunté à l'arabe sifr[9] (الصِّفْر ʾaṣ-ṣifr), utilisé pour « zéro » et signifiant « le vide », le « rien »[10], terme formé sur le modèle du sanskrit sunya, signifiant « vide ».

Le plus ancien système de numération de l'humanité est le système unaire, qui n'utilise qu'un seul chiffre, en forme de bâton, se répétant autant de fois que nécessaire pour représenter un nombre (exemple des os d'Ishango, découverts en République démocratique du Congo et dont les inscriptions dateraient d'il y a 20 000 ans).

Ce système est encore en usage de nos jours dans des opérations de dénombrement. En France, le dépouillement des bulletins de vote se fait ainsi en ajoutant une barre dans la ligne du candidat dont le scrutateur lit le nom sur le bulletin de vote. Pour faciliter le décomptage final, on groupe les barres par cinq.

Ce système a donné naissance à de nombreux systèmes additifs où de nouveaux signes remplacent des groupes de chiffres pour rendre les nombres plus lisibles. La numération romaine développe un système additif préhistorique. L'initiale des noms de nombre « cent » et « mille » les représente, selon l'habitude romaine d'utiliser des abréviations pour les inscriptions. Le système s'est répandu dans une grande partie de l'Europe avec les conquêtes romaines, puis par l'influence de l'Église chrétienne. Il était commun au Moyen Âge ; il reste couramment employé pour les siècles, la numérotation des titres de sections de textes, et les heures sur les horloges et les cadrans solaires.

Les chiffres arabes font partie des écritures de type logographique, c'est-à-dire que le symbole « 1 » se prononce de façon différente dans chaque langue, mais représente le même élément abstrait et reste donc compréhensible sous sa forme écrite.

Ces chiffres doivent leur nom au fait qu'ils proviennent des Arabes. L'ouvrage d'Al-Khawarizmi Traité du système de numération des Indiens (rendu accessible aux lettrés non-arabisants par ses traductions en latin, dont De numero indorum) laisse penser qu'ils seraient originaires d'Inde. Le zéro (représenté par un point) était utilisé comme marqueur de position vide par les astronomes babyloniens, mais ceux-ci n'avaient pas fait la démarche de le considérer comme chiffre à part entière.

Le concept du zéro, en tant que symbole numérique à parité avec les autres, qu'élément neutre de l'addition et élément absorbant de la multiplication, est en revanche présent dans les textes mathématiques indiens, en particulier l'analyse du problème de l'échiquier et des grains de blé.

Les chiffres de 1 à 9 ont été inventés en Inde. Ils apparaissent dans des inscriptions de Nana Ghât au III^e siècle av. J.-C. La numération de position avec un zéro (un simple point à l'origine), a été développée au cours du V^e siècle. Dans un traité de cosmologie en sanskrit de 458, on voit apparaître le nombre 14 236 713 écrit en toutes lettres. On y trouve aussi le mot « sunya » (le vide), qui représente le zéro. C'est à ce jour le document le plus ancien faisant référence à cette numération.

Au X^e siècle, le moine occitan Gerbert d'Aurillac s'initie à la nouvelle numération et, grâce aux chaires qu'il occupe dans divers établissements religieux d'Europe, commence à le faire connaître aux lettrés d'Occident. Élu pape en 999 sous le nom de Sylvestre II, il en retire l'autorité nécessaire pour faire adopter à la chrétienté la numération indo-arabe malgré la réticence de ceux qui utilisent l'abaque et voient cette simplification menacer une partie de leur métier.

Les dix chiffres indiens ont été adoptés dans le monde arabo-musulman, puis dans le monde chrétien. De nos jours, on écrit ces chiffres ainsi

• Au Moyen-Orient : ٠, ١, ٢, ٣, ٤, ٥, ٦, ٧, ٨ et ٩.
• Au Maghreb et en Occident : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, et 9.

• Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres : l'intelligence des hommes racontée par les nombres et les calculs, Paris, R. Laffont, coll. « Bouquins », 1994 (1^re éd. 1981), 1010 p., 2 tomes (ISBN 978-2-221-07838-9, 978-2-221-05779-7 et 978-2-221-07837-2)
• Stella Baruk, Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Paris, Seuil, 1995 (1^re éd. 1992) (ISBN 2-02-026028-X), p. 199-203 « Chiffre ».
• Valère-Marie Marchand, Le verbe géomètre : numérographies et écritures mathématiques, Paris, Éd. Alternatives, coll. « Écritures », 2004, 140 p. (ISBN 978-2-86227-430-0)

• Nombre
• Système de numération
• Chiffre significatif
• Chiffres arabes
• Numération chinoise
• Numération grecque - Épisèmei
• Numération romaine
• Numération japonaise
• Symbolisme des chiffres

• Serge Jodra, « Histoire des mathématiques : Les chiffres », sur Imago Mundi, 2004