Élément absorbant

• Dans un magma ${\displaystyle (E,\star )}$, l'élément absorbant, s'il existe :
  • est unique : si ${\displaystyle a_{1}}$ et ${\displaystyle a_{2}}$ sont deux éléments absorbants, ${\displaystyle a_{1}=a_{1}\star a_{2}=a_{2}}$ ;
  • est idempotent : si ${\displaystyle a}$ est absorbant, ${\displaystyle a\star a=a}$.
• Si un magma a un élément absorbant à gauche et un élément absorbant à droite, ces deux éléments sont égaux et le magma a un élément absorbant. En effet, si ${\displaystyle a_{1}}$ est absorbant à gauche et ${\displaystyle a_{2}}$ absorbant à droite, alors ${\displaystyle a_{1}=a_{1}\star a_{2}=a_{2}}$.
• Plusieurs éléments absorbants à gauche ou à droite peuvent exister dans un magma donné, mais s'il existe plus d'un élément absorbant à gauche, il n'en existe aucun à droite. En effet, supposons ${\displaystyle a_{1}}$ et ${\displaystyle a_{2}}$ deux éléments absorbants à gauche, et ${\displaystyle b}$ un élément absorbant à droite: ${\displaystyle a_{1}=a_{1}\star b=b=a_{2}\star b=a_{2}}$. Par symétrie, s'il existe plus d'un élément absorbant à droite, il n'en existe aucun à gauche.

Dans un anneau (A, +, ×), l'élément neutre 0 de + est absorbant pour ×.

En effet, pour tous x, y ∈ A :

• (x × y) + 0 = x × y = (x + 0) × y (car 0 est neutre pour +), donc
• (x × y) + 0 = (x × y) + (0 × y) (car × est distributive par rapport à +), donc
• 0 = 0 × y (car + est régulière, comme toute loi de groupe)

et (de même) :

• 0 = y × 0.