Magma (algèbre)

Si l'on note ${\displaystyle M}$ un ensemble et ${\displaystyle \star }$ une loi de composition interne dans ${\displaystyle M}$, le couple noté ${\displaystyle (M,\star )}$ est un magma. Avec cette définition, l'ensemble ${\displaystyle M}$ n'est pas identique au magma, mais on les identifie couramment.

Aucun axiome n'est imposé sur cette loi de composition interne, souvent notée comme une multiplication.

On dit que le magma ${\displaystyle (M,\star )}$ est :

• unifère s'il possède un élément neutre ${\displaystyle e}$, c'est-à-dire ${\displaystyle \forall x\in M,\ e\star x=x\star e=x}$ ;
• un demi-groupe (ou associatif) si ${\displaystyle \star }$ est associative ;
• un monoïde s'il vérifie les deux propriétés (associativité et existence d'un élément neutre)[1].

Si ${\displaystyle (M,\cdot )}$ et ${\displaystyle (N,\star )}$ sont des magmas, un morphisme de magmas, ou homomorphisme de magmas, de ${\displaystyle (M,\cdot )}$ dans ${\displaystyle (N,\star )}$ est par définition[2] une application f de M dans N telle que, pour tous éléments x, y de M, on ait

${\displaystyle \qquad f(x\cdot y)=f(x)\star f(y).}$

Si, de plus, f est une bijection, la réciproque de f est un morphisme de magmas de ${\displaystyle (N,\star )}$ dans ${\displaystyle (M,\cdot )}$ et on dit que f est un isomorphisme de magmas. La réciproque d'un isomorphisme de magmas est un isomorphisme de magmas.

Si le contexte est assez clair, on dit « morphisme » tout court plutôt que « morphisme de magmas », mais il y a des cas où cela pourrait prêter à confusion. Par exemple, un morphisme de magmas entre monoïdes n'est pas forcément un morphisme de monoïdes.

• Le magma vide est l'unique magma sur l'ensemble vide.
• ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ est un monoïde commutatif. De plus, tout élément y est régulier.
• ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times )}$ est également un monoïde commutatif, mais 0 n'est pas régulier.
• ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,-)}$ est un magma non associatif et non commutatif. Il n'est même pas unifère mais seulement unifère à droite car, s'il admet un (unique, ce qui n'est pas automatique) élément neutre à droite (0), il n'en admet pas à gauche. En revanche, ce magma est permutatif et régulier.
• On appelle magma opposé au magma ${\displaystyle M=(E,\star )}$ le magma ${\displaystyle M^{op}=(E,\boxplus )}$ où ${\displaystyle x\boxplus y=y\star x}$ pour tous ${\displaystyle (x,y)\in E^{2}}$.
• Magma quotient

• Murskiǐ a montré en 1965 que le magma à trois éléments ${\displaystyle \{0,1,2\}}$ muni de la loi interne ${\displaystyle \star }$ ci-dessous ne possède pas d'axiomatisation équationnelle (ou base équationnelle) finie[3].

Magma {0,1,2} muni de ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle \star }$	0	1	2
0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	2	2

On définit par récurrence sur l'entier ${\displaystyle n\geqslant 1}$ une suite d'ensembles ${\displaystyle M_{n}(X)}$ comme suit :

On pose ${\displaystyle M_{1}(X)=X}$; pour ${\displaystyle n\geqslant 2}$ ${\displaystyle M_{n}(X)}$ est l'ensemble somme des ensembles ${\displaystyle M_{p}(X)\times M_{n-p}(X)}$ pour ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant n-1}$.

L'ensemble somme de la famille ${\displaystyle (M_{n}(X))_{n\geqslant 1}}$ est noté ${\displaystyle M(X)}$ ; on identifie chacun des ensembles ${\displaystyle M_{n}(X)}$ à son image canonique dans ${\displaystyle M(X)}$.

Pour tout élément ${\displaystyle \omega }$ de ${\displaystyle M(X)}$, il existe un unique entier ${\displaystyle n}$ tel que ${\displaystyle \omega \in M_{n}(X)}$; on l’appelle la longueur de ${\displaystyle \omega }$ et on le note ${\displaystyle l(\omega )}$.

L'ensemble ${\displaystyle X}$ se compose des éléments de longueur 1 dans ${\displaystyle M(X)}$.

Soient ${\displaystyle \omega }$ et ${\displaystyle \omega '}$ dans ${\displaystyle M(X)}$; posons ${\displaystyle p=l(\omega )}$ et ${\displaystyle q=l(\omega ')}$. L'image de ${\displaystyle (\omega ,\omega ')}$ par l'injection canonique de ${\displaystyle M_{p}(X)\times M_{q}(X)}$ dans l'ensemble somme ${\displaystyle M_{p+q}(X)}$ s'appelle le composé de ${\displaystyle \omega }$ et ${\displaystyle \omega '}$ et se note ${\displaystyle \omega \omega '}$ ou ${\displaystyle \omega \bullet \omega '}$. On a donc ${\displaystyle l(\omega \bullet \omega ')=l(\omega )+l(\omega ')}$ et tout élément de ${\displaystyle M(X)}$ de longueur ${\displaystyle \geqslant 2}$ s'écrit de manière unique sous la forme ${\displaystyle \omega '\omega ''}$ avec ${\displaystyle \omega '}$ et ${\displaystyle \omega ''}$ dans ${\displaystyle M(X)}$.

On appelle magma libre[4] construit sur X l'ensemble ${\displaystyle M(X)}$ muni de la loi de composition ${\displaystyle \bullet }$.

Un groupe est un monoïde dont tous les éléments sont inversibles[5].

La structure d'anneau fait intervenir deux lois de composition internes sur un même ensemble, et donc deux magmas, mais un anneau n'est pas un magma à proprement parler. Il en est de même d'autres structures algébriques encore plus complexes, comme celle de module sur un anneau.

Le terme magma a été introduit pour la première fois dans le contexte de l'algèbre générale par Nicolas Bourbaki.

L'ancienne appellation « groupoïde de Ore », introduite par Bernard Hausmann et Øystein Ore en 1937[6] et parfois utilisée jusque dans les années 1960[7], est aujourd'hui à éviter [8]^,[9]^,[10], l'usage du terme groupoïde étant aujourd'hui réservé à la théorie des catégories, où il signifie autre chose.

• Portail de l’algèbre