Isomorphisme

En algèbre, un isomorphisme est un morphisme admettant un inverse qui est lui-même un morphisme, ou plus simplement un morphisme bijectif.

C'est donc une bijection pour laquelle les relations « algébriques » entre les éléments de l'ensemble d'arrivée sont les mêmes que celles entre leurs antécédents respectifs (la structure algébrique est préservée). Ce « méta-concept » mathématique admet une définition formelle en théorie des catégories.

Dans une catégorie donnée, un isomorphisme est un morphisme ${\displaystyle f:A\to B}$ tel qu'il existe un morphisme ${\displaystyle g:B\to A}$ qui soit « inverse » de ${\displaystyle f}$ à la fois à gauche ${\displaystyle (g\circ f=\mathrm {id} _{A})}$ et à droite ${\displaystyle (f\circ g=\mathrm {id} _{B}).}$

Il suffit pour cela que ${\displaystyle f}$ possède d'une part un « inverse à gauche » ${\displaystyle g}$ et d'autre part un « inverse à droite » ${\displaystyle h}$. En effet, on a alors

${\displaystyle g=g\circ \mathrm {id} _{B}=g\circ (f\circ h)=(g\circ f)\circ h=\mathrm {id} _{A}\circ h=h,}$

ce qui prouve en outre l'unicité de l'inverse.

En revanche, l'une ou l'autre de ces deux conditions, à elle seule, ne suffit pas.

En théorie des modèles, un homomorphisme concerne deux structures ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ et ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ dans un même langage ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$. Un homomorphisme ${\displaystyle h}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ dans ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ est une application de ${\displaystyle |{\mathfrak {A}}|}$ (l'univers ou domaine de ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$) dans ${\displaystyle |{\mathfrak {B}}|}$ qui satisfait les conditions suivantes :

• pour tout entier ${\displaystyle n}$, pour tout prédicat ${\displaystyle P}$ de ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ d'arité ${\displaystyle n}$, pour tout ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ :

  ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in P^{\mathfrak {A}}}$ si et seulement si ${\displaystyle (h(a_{1}),\dots ,h(a_{n}))\in P^{\mathfrak {B}}}$ ;

• pour tout entier ${\displaystyle n}$, pour toute fonction ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ d'arité ${\displaystyle n}$, pour tout ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ :

  ${\displaystyle h(F^{\mathfrak {A}}(a_{1},\dots ,a_{n}))=F^{\mathfrak {B}}(h(a_{1}),\dots ,h(a_{n}))}$ ;

• pour toute constante ${\displaystyle c}$ de ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ :

  ${\displaystyle c^{\mathfrak {A}}=c^{\mathfrak {B}}}$.

Un homomorphisme bijectif est un isomorphisme. S'il existe un isomorphisme entre deux structures, on dit qu'elles sont isomorphes. Un important théorème assure qu'alors, pour tout entier ${\displaystyle n}$, tout prédicat ${\displaystyle P}$ de ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ d'arité ${\displaystyle n}$ et toute ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-formule ${\displaystyle \phi }$ :

${\displaystyle \models _{\mathfrak {A}}\phi [a_{1},\dots ,a_{n}]}$ si et seulement si ${\displaystyle \models _{\mathfrak {B}}\phi [h(a_{1}),\dots ,h(a_{n})]}$.

En particulier, les deux structures satisfont les mêmes énoncés. Ainsi, deux structures isomorphes sont élémentairement équivalentes.