Produit vectoriel

La mise en place de la notion de produit vectoriel prend son essor dans la deuxième moitié du XIX^e siècle, même si Lagrange utilise en 1773 des grandeurs assimilables aux composantes du produit vectoriel de deux vecteurs. Mais cette utilisation reste limitée à un usage ponctuel[3]. En 1843, Hamilton invente les quaternions qui permettent d'introduire naturellement le produit vectoriel. Indépendamment et à la même période (1844), Grassmann définit dans Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik un « produit géométrique » à partir de considérations géométriques ; mais il ne parvient pas à définir clairement un produit vectoriel. Puis Grassmann lit Hamilton et s'inspire de ses travaux pour publier en 1862 une deuxième version de son traité qui est nettement plus claire[4]. De même, Hamilton lit les travaux de Grassmann, les commente et les apprécie[5]. Plus tard Maxwell commence à utiliser la théorie des quaternions pour l'appliquer à la physique. Après Maxwell, Clifford modifie profondément le formalisme de ce qui devenait l'analyse vectorielle. Il s'intéresse aux travaux de Grassmann et Hamilton avec une nette préférence pour le premier[2]. Dans son ouvrage Elements of Dynamic (1878), Clifford définit le produit vectoriel de deux vecteurs comme un vecteur orthogonal aux deux vecteurs et dont la grandeur est égale à l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs[6]. En 1881, Gibbs publia Elements of Vector Analysis Arranged for the Use of Students of Physics s'inspirant des travaux déjà réalisés, notamment ceux de Clifford et Maxwell. Si les physiciens se sont empressés d'utiliser le formalisme de Gibbs, celui-ci ne fut accepté en mathématiques que bien plus tard, et après plusieurs modifications.

Peter Guthrie Tait, dans la préface de la troisième édition de son traité sur les quaternions, qualifie le nouveau formalisme créé par Gibbs de « monstre hermaphrodite, composé des notations de Hamilton et Grassmann »[7].

Une seconde définition[N 6] utilise la théorie des déterminants et la notion de produit mixte comme point de départ. Le produit mixte de trois vecteurs u, v, w, noté [u, v, w], est le déterminant de ces trois vecteurs dans une base orthonormée directe (BOND) quelconque. La formule de changement de base montre que ce déterminant est indépendant du choix de la base directe ; géométriquement il est égal au volume orienté du parallélépipède appuyé sur les vecteurs u, v, w.

Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est l'unique vecteur u ∧ v tel que, pour tout w, on a : ${\displaystyle [u,v,w]=(u\wedge v)\cdot w.}$

Le produit vectoriel s'interprète comme les variations du volume orienté d'un parallélépipède en fonction du troisième côté.

Avec une telle définition, il est possible de définir, dans un espace vectoriel orienté de dimension n + 1, le produit vectoriel de n vecteurs.

Cette définition se reformule en recourant au formalisme des espaces euclidiens. Le produit vectoriel u ∧ v est alors le vecteur dual de l’application linéaire w : ⟼ [u, v, w], donné par le théorème de représentation de Riesz.

Une méthode pour calculer le produit vectoriel grâce aux composantes.

Le choix arbitraire d'une base orthonormée directe donne une identification de E et de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Notons les coordonnées u = (u₁, u₂, u₃) et v = (v₁, v₂, v₃).

Leur produit vectoriel est donné par[N 7]^,[9] :

${\displaystyle u\wedge v={\begin{pmatrix}u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}\\u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\end{pmatrix}}}$.

Cette troisième définition, puisqu'elle est équivalente aux deux précédentes, est indépendante, malgré les apparences, du choix de la base orthonormée directe dans laquelle on calcule les coordonnées.

• Le produit vectoriel est un produit distributif, anticommutatif :
  • Distributivité par rapport à l'addition :

    ${\displaystyle u\wedge (v+w)=u\wedge v+u\wedge w}$,

  • Compatibilité avec la multiplication par un scalaire :

    ${\displaystyle \lambda (u\wedge v)=\lambda u\wedge v=u\wedge \lambda v}$,

  • Antisymétrie :

    ${\displaystyle u\wedge v=-v\wedge u}$.

Ces propriétés découlent immédiatement de la définition du produit vectoriel par le produit mixte et des propriétés algébriques du déterminant.

• Il n'est pas associatif — c'est-à-dire qu'en général u ∧ (v ∧ w) n'est pas égal à (u ∧ v) ∧ w — et plus précisément, il vérifie les égalités du double produit vectoriel :

${\displaystyle u\wedge (v\wedge w)=(u\cdot w)v-(u\cdot v)w\qquad {\text{et}}\qquad (u\wedge v)\wedge w=(u\cdot w)v-(v\cdot w)u}$.

• Il vérifie par conséquent l'identité de Jacobi, ce qui en fait un crochet de Lie :

${\displaystyle u\wedge (v\wedge w)+w\wedge (u\wedge v)+v\wedge (w\wedge u)=0}$.

• En partant de l'identité de Lagrange

${\displaystyle \left((bc'-b'c)^{2}+(ca'-c'a)^{2}+(ab'-a'b)^{2}\right)+(aa'+bb'+cc')^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}),}$ on peut démontrer facilement l'égalité ${\displaystyle \|{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\|^{2}+({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}=\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}}$ que l'on peut aussi écrire sous la forme : ${\displaystyle \left({\dfrac {\|{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\|}{\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|}}\right)^{2}+\left({\dfrac {{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}{\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|}}\right)^{2}=1,}$ ce qui équivaut à l'identité trigonométrique${\displaystyle \sin ^{2}({\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}})+\cos ^{2}({\widehat {{\vec {u}},{\vec {v}}}})=1}$et qui n'est rien d'autre qu'une des façons d'écrire le théorème de Pythagore.

• Les premières propriétés algébriques ci-dessus (bilinéarité et formule du double produit vectoriel) fournissent une solution au problème de la division vectorielle u ∧ x = v, où l'inconnue est le vecteur x et les données sont les deux vecteurs u et v, en supposant u non nul et orthogonal à v (sans quoi la résolution est instantanée). En effet, de u ∧ (v ∧ u) = ║u║²v, on déduit que x₀ = (v ∧ u)/║u║² est une solution. Or le noyau de l'application linéaire x ↦ u ∧ x est la droite vectorielle Ru, donc l'ensemble des solutions de cette équation linéaire est x₀ + Ru.

Le produit vectoriel est invariant par l'action des isométries vectorielles directes. Plus exactement, pour tous vecteurs u et v de E et pour toute rotation f de E, on a : ${\displaystyle f\left[u\wedge v\right]=f(u)\wedge f(v).}$

Cette identité peut être prouvée différemment suivant l'approche adoptée :

Définition géométrique : L'identité est immédiate avec la première définition, car f préserve l'orthogonalité, l'orientation et les longueurs.

Produit mixte : L'isomorphisme linéaire f laisse invariant le produit mixte de trois vecteurs. En effet, le produit mixte de f(u), f(v), f(w) peut être calculé dans l'image par f de la base orthonormée directe dans laquelle le produit mixte de u, v et w est calculé. De fait, l'identité précédente s'obtient immédiatement :

${\displaystyle (f(u)\wedge f(v))\cdot f(w)=[f(u),f(v),f(w)]=[u,v,w]=(u\wedge v)\cdot w\,=f(u\wedge v)\cdot f(w)}$

où f(w) parcourt tout l'espace vectoriel quand w le parcourt puisque f est une bijection, d'où l'égalité souhaitée.

Toute isométrie directe de R³ est une rotation vectorielle. L'ensemble des isométries directes forme un groupe de Lie classique noté SO(3) (autrement dit, un sous-groupe fermé de GL₃(R)). Son algèbre de Lie, notée so(3) est la sous-algèbre de Lie de gl₃(R) définie comme l'espace tangent de SO(3) en l'identité. Un calcul direct montre qu'il est l'espace des matrices antisymétriques de taille 3. Cet espace est a fortiori stable par le crochet de Lie.

Toute matrice antisymétrique A de taille 3 s'écrit de manière unique ${\displaystyle \mathrm {A} ={\begin{pmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\-a_{2}&a_{1}&0\end{pmatrix}}}$ En identifiant A et le vecteur ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},a_{3})}$, on définit un isomorphisme linéaire entre so(3) et R³. Le crochet de Lie se transporte via cet isomorphisme, et R³ hérite d'une structure d'algèbre de Lie. Le crochet [u, v] de deux vecteurs est précisément le produit vectoriel de u et de v.

En effet, si ${\displaystyle u=(u_{1},u_{2},u_{3})}$ et ${\displaystyle v=(v_{1},v_{2},v_{3})}$, leur crochet se calcule en introduisant les matrices antisymétriques correspondantes ${\displaystyle U}$ et ${\displaystyle V}$ :

${\displaystyle [\mathrm {U} ,\mathrm {V} ]=\mathrm {U} \mathrm {V} -\mathrm {V} \mathrm {U} ={\begin{pmatrix}0&v_{1}u_{2}-u_{1}v_{2}&v_{1}u_{3}-u_{1}v_{3}\\u_{1}v_{2}-v_{1}u_{2}&0&v_{2}u_{3}-u_{2}v_{3}\\u_{1}v_{3}-v_{1}u_{3}&u_{2}v_{3}-v_{2}u_{3}&0\end{pmatrix}}}$

Le vecteur correspondant, à savoir ${\displaystyle [u,v]}$, a donc pour coordonnées ${\displaystyle (u_{2}v_{3}-v_{2}u_{3},u_{3}v_{1}-v_{3}u_{1},u_{1}v_{2}-v_{1}u_{2})}$. Cette approche redéfinit donc le produit vectoriel.

Si on suit cette approche, il est possible de prouver directement l'invariance du produit vectoriel par les isométries directes. ${\displaystyle f\left[u\wedge v\right]=f(u)\wedge f(v).}$ En tant qu'algèbres de Lie, so(3) a été identifié à R³. L'action (linéaire) de SO₃(R) sur R³ s'identifie à l'action par conjugaison sur so(3). SO₃(R) opère donc par automorphisme d'algèbres de Lie. Autrement dit, l'identité ci-dessus est vérifiée.

Il est possible de retrouver produit vectoriel et produit scalaire à partir du produit de deux quaternions purs. Pour rappel, le corps (non commutatif) des quaternions H est l'unique extension de R de dimension 4. Sa base canonique est (1, i, j, k) où le sous-espace engendré par i, j et k forme l'espace des quaternions purs, canoniquement identifié avec R³. Ces éléments vérifient : ${\displaystyle {\rm {i}}^{2}={\rm {j}}^{2}={\rm {k}}^{2}={\rm {ijk}}=-1}$ ; ${\displaystyle {\rm {ij}}=-{\rm {ji}}={\rm {k}}\quad$ ;\quad {\rm {jk}}=-{\rm {kj}}={\rm {i}}\quad ;\quad {\rm {ki}}=-{\rm {ik}}={\rm {j}}} . Si q₁ = a₁i + b₁j + c₁k et q₂ = a₂i + b₂j + c₂k, le produit q₁q₂ se calcule immédiatement : ${\displaystyle q_{1}q_{2}=-(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2})+(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}){\rm {i}}+(c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}){\rm {j}}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\rm {k}}.}$ La partie réelle est au signe près le produit scalaire de q₁ et de q₂ ; la partie imaginaire est un quaternion pur qui correspond au produit vectoriel, après identification avec R³.

Cette coïncidence trouve ses explications dans le paramétrage du groupe SO(3) par les quaternions unitaires.

Il est de nouveau possible de justifier l'invariance par isométrie. Toute isométrie de l'espace des quaternions imaginaires s'écrit comme la conjugaison par un quaternion unitaire. Si q est un quaternion unitaire, et q₁, q₂ sont des quaternions imaginaires, il suffit de constater :

${\displaystyle \left[qq_{1}{\overline {q}}\right].\left[qq_{2}{\overline {q}}\right]=q(q_{1}q_{2}){\overline {q}}}$

pour en déduire l'invariance par isométrie du produit vectoriel.

Soient deux vecteurs u et v dont les 3 coordonnées dans une base orthonormée directe sont notées respectivement ${\displaystyle u_{i}}$ et ${\displaystyle v_{j}}$. On peut définir le tenseur ${\displaystyle u\otimes v}$ dont les 9 coordonnées sont

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\\end{pmatrix}}}$

ce qui, en notation tensorielle, s'écrit simplement ${\displaystyle (u\otimes v)_{ij}=u_{i}\,v_{j}}$.

Ce tenseur peut se décomposer en la demi-somme de deux tenseurs, l'un complètement symétrique ${\displaystyle u\odot v=u\otimes v+v\otimes u}$ qui a 6 coordonnées indépendantes données par ${\displaystyle (u\odot v)_{ij}=u_{i}\,v_{j}+v_{i}\,u_{j}}$, et l'autre complètement anti-symétrique ${\displaystyle u\wedge v=u\otimes v-v\otimes u}$ qui a 3 coordonnées indépendantes données par ${\displaystyle (u\wedge v)_{ij}=u_{i}\,v_{j}-v_{i}\,u_{j}}$.

On peut associer ${\displaystyle u\wedge v}$ et le vecteur z dont les coordonnées sont :

${\displaystyle z_{1}=(u\wedge v)_{23},\;z_{2}=(u\wedge v)_{31},\;z_{3}=(u\wedge v)_{12}}$

ce qui, à l'aide du symbole de Levi-Civita ${\displaystyle \varepsilon }$ peut s'écrire ${\displaystyle z_{k}=\varepsilon _{ijk}\,u_{i}\,v_{j}}$

Selon la convention de sommation d'Einstein, on somme sur i et sur j dans la formule ci-dessus. Par exemple pour k = 3 (i et j variant de 1 à 3), ${\displaystyle z_{3}=\varepsilon _{ij3}\,u_{i}\,v_{j}=\varepsilon _{123}\,u_{1}\,v_{2}+\varepsilon _{213}\,u_{2}\,v_{1}=u_{1}\,v_{2}-v_{1}\,u_{2}}$.

Comme cette égalité est conservée lors d'un changement de base orthonormée directe, z est bien le produit vectoriel de u et v.

Remarque : Dans l'écriture ci-dessus, ${\displaystyle u\wedge v}$ désigne le produit extérieur des vecteurs u et v. Avec la notation ${\displaystyle \times }$ pour le produit vectoriel on peut écrire ${\displaystyle (u\times v)_{1}=(u\wedge v)_{23}}$, etc. ce qui ne pose aucun problème. Avec la notation française ${\displaystyle \wedge }$ pour le produit vectoriel, on obtient ${\displaystyle (u\wedge v)_{1}=(u\wedge v)_{23}}$ ce qui peut amener des confusions.

Dans le cas général, la base n'est pas nécessairement orthonormée directe. Comme le produit extérieur ${\displaystyle u\wedge v}$ est défini de manière intrinsèque (définition tensorielle), l'expression de ses coordonnées est inchangée : ${\displaystyle (u\wedge v)_{ij}=u_{i}\,v_{j}-v_{i}\,u_{j}}$. Mais il n'en est pas de même pour le produit vectoriel. Pour généraliser au cas d'une base quelconque, (toujours en dimension 3) il faut introduire les coordonnées covariantes et contravariantes ainsi que le tenseur de Levi-Civita ${\displaystyle \eta }$

On obtient alors ${\displaystyle z_{k}=\eta _{ijk}\,u^{i}\,v^{j}}$ ou de manière équivalente ${\displaystyle z^{k}=\eta ^{ijk}\,u_{i}\,v_{j}}$

Théorème : si une application bilinéaire notée ${\displaystyle \wedge }$ de ${\displaystyle E\times E}$ dans E, E espace vectoriel réel de dimension 3, vérifie pour tout ${\displaystyle u,v,w}$ :

1. Règle d'échange : ${\displaystyle (u\wedge v)\cdot w=u\cdot (v\wedge w)}$
2. Formule du double produit : ${\displaystyle u\wedge (v\wedge w)=(u\cdot w)v-(u\cdot v)w\qquad }$

Alors il existe une orientation de E telle que ${\displaystyle \wedge }$ est le produit vectoriel de E.

Étapes successives de la démonstration :

a. On montre ${\displaystyle \lVert u\wedge v\rVert ^{2}=\lVert u\rVert ^{2}\lVert v\rVert ^{2}-(u\cdot v)^{2}}$ en partant de ${\displaystyle \lVert u\wedge v\rVert ^{2}=(u\wedge v)\cdot (u\wedge v)}$ et utilisant 1. puis 2.

b. On en déduit directement ${\displaystyle u\wedge v=0\Leftrightarrow (u,v){\text{ lié}}}$ (égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz) puis ${\displaystyle u\wedge v=-v\wedge u}$ en calculant ${\displaystyle (u+v)\wedge (u+v)}$.

c. Soient ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ deux vecteurs normés orthogonaux, ${\displaystyle e_{3}=e_{1}\wedge e_{2}}$, alors en utilisant 1. et a. on montre que ${\displaystyle (e_{1},e_{2},e_{3})}$ est orthonormale, puis que ${\displaystyle e_{2}\wedge e_{3}=e_{1}}$ et ${\displaystyle e_{3}\wedge e_{1}=e_{2}}$.

d. En exprimant u et v dans cette base, décrétée directe, on calcule les coordonnées de ${\displaystyle u\wedge v}$ , qui montrent alors que ${\displaystyle \wedge }$ est bien « le » produit vectoriel.

On appelle produit vectoriel sur un espace euclidien V une application bilinéaire notée[10] ×, allant de V × V vers V,${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\mapsto \mathbf {x} \times \mathbf {y} }$, ayant les propriétés suivantes[11]^,[12] :

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=(\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\mathbf {\cdot y} =0}$   (orthogonalité),

et :

${\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |^{2}=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )^{2}}$   (relation entre les normes),

où (x·y) est le produit scalaire et |x| est la norme du vecteur x. Une formulation équivalente, utilisant l'angle θ entre les vecteurs[13], est[14] :

${\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |\sin \theta ,}$

ce qui est l'aire du parallélogramme (dans le plan de x et y) ayant les deux vecteurs pour côtés[15]. Il est également possible de montrer que l'expression suivante est équivalente aux deux précédentes[16] :

${\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |~{\mbox{si}}\ \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} \right)=0}$.

On démontre alors qu'un produit vectoriel non trivial ne peut exister qu'en dimensions trois et sept[14] ; de plus, en dimension trois, ce produit vectoriel est unique au signe près.

On définit l'opérateur rotationnel comme suit : ${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\ {\vec {u}}={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\end{vmatrix}}.}$ En mécanique du solide, c'est une opération très employée notamment dans la relation de Varignon qui lie les deux champs vectoriels d'un torseur. D'autre part, les équations de Maxwell sur l'électromagnétisme s'expriment à travers l'opérateur rotationnel, ainsi que les équations de la mécanique des fluides, notamment celles de Navier-Stokes.

Le moment d'une force est défini comme le produit vectoriel de cette force ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}}$ par le vecteur ${\displaystyle {\vec {\mathrm {AP} }}}$ reliant son point d'application A au pivot P considéré : ${\displaystyle {\vec {\mathrm {M} }}_{\vec {\mathrm {F/P} }}={\vec {\mathrm {F} }}\wedge {\vec {\mathrm {AP} }}={\vec {\mathrm {PA} }}\wedge {\vec {\mathrm {F} }}.}$ C'est une notion primordiale en mécanique du solide.

Soient A, B et C, trois points non alignés de l'espace, grâce auxquels on peut former le plan (ABC).

M(x,y,z) appartient à (ABC) si et seulement si les coordonnées de M vérifient l'équation de (ABC).

L'équation cartésienne de (ABC) est de la forme ax + by + cz + d = 0, où a, b, c et d sont des réels et ${\displaystyle {\vec {w}}}$ est un vecteur normal à (ABC), c'est-à-dire que son produit scalaire avec le vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ ou avec ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}$ ou encore avec le vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$ est nul, donc si ${\displaystyle {\vec {w}}}$ est un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABC).

Les réels a, b et c sont donc les composantes respectives en x, y et z du vecteur ${\displaystyle {\vec {w}}}$, produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), par exemple ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}$.

Soit ABCD un parallélogramme, c'est-à-dire qu'on a la relation ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {DC}}}$.

Comme indiqué plus haut dans la définition, l'aire de ce parallélogramme est égale à la norme du produit vectoriel des deux vecteurs sur lesquels il s'appuie : ${\displaystyle \left\|{\overrightarrow {AB}}\wedge {\overrightarrow {AD}}\right\|}$.

• (en) Florian Cajori, A History of Mathematical Notations [détail des éditions], 1993
• (en) Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis (en) : The Evolution of the Idea of a Vectorial System, Dover, 1994, 2^e éd. (1^re éd. 1985), 270 p. (ISBN 0-486-67910-1, lire en ligne)

Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions]

www.isima.fr/~leborgne/IsimathMeca/Produitvectoriel.pdf. "Produit vectoriel, pseudo-produit vectoriel, et endomorphismes antisymétriques". 9 pages.

QCM Prod, un programme python gratuit pour s'entraîner aux produits vectoriels.

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