Symbole de Levi-Civita

En dimension 3, on peut figurer le symbole de Levi-Civita comme suit :

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{si }}(i,j,k){\mbox{ est }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ ou }}(3,1,2),\\-1&{\mbox{si }}(i,j,k){\mbox{ est }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ ou }}(2,1,3),\\0&{\mbox{si }}i=j{\mbox{ ou }}j=k{\mbox{ ou }}k=i.\end{cases}}}$

La relation du symbole Levi-Civita au symbole de Kronecker est :

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}=\delta _{il}\delta _{jm}\delta _{kn}+\delta _{im}\delta _{jn}\delta _{kl}+\delta _{in}\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{il}\delta _{jn}\delta _{km}-\delta _{in}\delta _{jm}\delta _{kl}-\delta _{im}\delta _{jl}\delta _{kn}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}$

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}}$

En dimension 2, le symbole de Levi-Civita est défini par :

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1&{\text{si }}(i,j)=(1,2)\\-1&{\text{si }}(i,j)=(2,1)\\\;\;\,0&{\text{si }}i=j\end{cases}}}$

On peut disposer ces valeurs dans une matrice carrée 2×2 comme suit :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

dont le déterminant vaut 1. De même, les valeurs du symbole de Kronecker peuvent être vues comme les éléments de la matrice-identité

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\delta _{11}&\delta _{12}\\\delta _{21}&\delta _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

En dimension n, on peut démontrer que

${\displaystyle \sum _{i_{1},\dots ,i_{n}=1}^{n}\left(\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\right)^{2}=n!}$

Dans une base orthonormée directe ${\displaystyle ({\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},{\vec {e_{3}}})}$, ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ représente le volume orienté du parallélépipède construit à partir des vecteurs ${\displaystyle {\vec {e_{i}}},{\vec {e_{j}}},{\vec {e_{k}}}}$.

D'où une valeur égale à 0 si i = j ou j = k ou k = i.