Torseur

Le torseur ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ est donc une application de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ dans E.

${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ est une application affine dont la partie linéaire est un endomorphisme antisymétrique de E[1].

Par définition, un torseur est un champ équiprojectif. Il possède donc évidemment la propriété d'équiprojectivité :

${\displaystyle \forall (\mathrm {A} ,\mathrm {B} )\in {\mathcal {E}}^{2}\qquad {\overrightarrow {M}}(A)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {AB} }}={\overrightarrow {M}}(B)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {AB} }}}$

où ⋅ désigne le produit scalaire.

L'équiprojectivité du champ des vitesses d'un solide indéformable est la propriété fondamentale décrivant le comportement cinématique de ces corps.

Cette relation est appelée aussi loi de transfert des moments puisqu'on obtient le moment du torseur au point P en utilisant celui en O tant que O et P appartiennent au même solide indéformable.

Un moyen mnémotechnique de la retenir est la dénomination « formule de BABAR » :

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}(B)={\overrightarrow {\mathcal {M}}}(A)+{\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\overrightarrow {\mathcal {R}}}}$.

Un torseur est donc déterminé par deux vecteurs, constituant sa « réduction » en un point quelconque P de l'espace, à savoir :

• La résultante ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {R}}}}$ ; ce vecteur est unique et indépendant du point de réduction ;
• le moment en P du torseur, ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}(P)}$.

La résultante est un vecteur caractéristique du champ qui permet, à partir du moment en un point particulier, de retrouver les autres moments. De ce fait, les torseurs forment parmi les champs de vecteurs un sous-espace de dimension 6[1].

On écrit alors :

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}={\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {\mathcal {R}}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}(P)\end{Bmatrix}}}$

ou, en projetant la résultante et le moment sur une base orthonormée ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ :

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}={\begin{Bmatrix}\mathrm {X} &\mathrm {L} \\\mathrm {Y} &\mathrm {M} \\\mathrm {Z} &\mathrm {N} \end{Bmatrix}}_{\mathrm {P} ,{\mathcal {B}}}}$

où X, Y, Z sont les coordonnées de la résultante et L, M, N les coordonnées du moment. Ces coordonnées sont appelées « coordonnées plückeriennes » (du mathématicien allemand Julius Plücker).

Considérons un torseur de résultante ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {R}}}}$ non nulle. Alors on montre que les points P tels que ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}(P)}$ soit colinéaire à ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {R}}}}$ forment une droite appelée axe central du torseur. Cet axe central existe et est unique pour tout torseur, sauf dans le cas particulier du couple et du torseur nul, où la résultante est nulle. Dans le cas d'un glisseur, les moments sur l'axe central sont nuls.

Pour le torseur cinématique d'un solide (dont les moments sont les vitesses des points du solide), la résultante est le vecteur instantané de rotation. Le mouvement du solide est en général la superposition d'un mouvement de rotation et d'un mouvement de translation parallèlement à l'axe de rotation instantané (vissage). Les points du solide en translation sont précisément les points de l'axe central du torseur cinématique.

L'invariant scalaire est le produit scalaire de la résultante et du moment d'un torseur. Il est constant en tout point de l'espace pour un torseur donné.

Le champ vectoriel (le champ des moments) et la résultante sont liés par un produit vectoriel. Les vecteurs de déplacement — de type ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AB} }}}$ avec (A, B) ∈ ℰ² — étant toujours des vecteurs vrais, alors :

• si les moments sont des vecteurs vrais, la résultante est un pseudovecteur (cas du torseur cinématique) ;
• si les moments sont des pseudovecteurs, la résultante est un vecteur vrai (cas des torseurs statique, cinétique et dynamique).

Le champ de vecteurs nuls s'appelle le torseur nul. Il est noté {0} (à ne pas confondre avec le singleton zéro).

Un couple est un champ vectoriel uniforme, donc représenté par un torseur dont la résultante est nulle.

${\displaystyle \forall (\mathrm {A} ,\mathrm {B} )\in {\mathcal {E}}^{2},{\overrightarrow {\mathcal {M}}}(A)={\overrightarrow {\mathcal {M}}}(B)\Leftrightarrow {\overrightarrow {\mathcal {R}}}={\overrightarrow {0}}}$

Un glisseur est un torseur dont le champ des moments s'annule en au moins un point (de manière équivalente, c'est un torseur d'invariance nulle et de résultante non nulle).

${\displaystyle \exists \mathrm {A} \in {\mathcal {E}},{\overrightarrow {\mathcal {M}}}(A)={\overrightarrow {0}}}$.

Dans ce cas, en un autre point quelconque O il vient, du fait de la relation de transport des moments:

${\displaystyle \forall \mathrm {O} \in {\mathcal {E}},{\overrightarrow {\mathcal {M}}}(O)={\overrightarrow {\mathrm {OA} }}\wedge {\overrightarrow {\mathcal {R}}}}$,

aussi le point A apparaît comme le "point d'application" de la résultante: ce concept est couramment utilisé pour les forces en physique (e.g. le poids). Il est cependant évident que si ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OA} }}}$ est colinéaire à ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {R}}}}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}(O)={\overrightarrow {0}}}$, donc pour un glisseur tous les points situés sur la droite portant la résultante ont un moment nul. Il est possible de faire "glisser" le point d'application de ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {R}}}}$, d'où le nom.

Exemple: si le champ de pesanteur est supposé uniforme, le torseur des actions lié au poids d'un corps est un glisseur. En effet dans ce cas la résultante s'écrit: ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {R}}}=\sum _{i}{m_{i}{\overrightarrow {g}}(M_{i})}=(\sum _{i}m_{i}){\overrightarrow {g}}}$, la sommation portant sur l'ensemble des points ${\displaystyle M_{i}}$ du corps. Il est alors facile de voir que le moment du poids en un point O quelconque s'écrit ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {\sigma } }}(O)={\overrightarrow {\mathrm {OG} }}\wedge (m{\overrightarrow {g}})={\overrightarrow {\mathrm {OG} }}\wedge {\overrightarrow {P}}}$, m étant la masse totale du corps et G le centre de masse de celui-ci. Il est évident que le moment est nul en G, qui est donc le point d'application du poids, et il sera nul en tout point de la droite d'action du poids: le torseur correspondant se réduira donc à un glisseur. En revanche si le champ de pesanteur ${\displaystyle {\overrightarrow {g}}(M_{i})}$ ne peut plus être considéré comme uniforme, par exemple si les dimensions du corps considérés sont assez grandes, il n'y a aucune raison que le moment ne s'annule en un point et que le torseur correspondant se réduise à un glisseur.

Un torseur quelconque est un torseur d'invariant scalaire non nul (produit scalaire de la résultante et du moment). Un torseur quelconque peut se décomposer en une infinité de combinaisons d'un torseur couple et d'un glisseur.

Le champ des moments d'une force par rapport à un point est un torseur, dit torseur des actions mécaniques ou torseur statique. La résultante du torseur est la force. On peut par exemple formuler le principe d'Archimède avec les torseurs : « Le torseur des forces de pression est égal et opposé au torseur des forces de gravité dans le fluide considéré. »

Le torseur statique est beaucoup utilisé pour effectuer des calculs de mécanique statique pour un solide indéformable, de mécanique quasi-statique (approximation d'un problème dynamique où les effets dynamiques sont négligés et l'on considère que le système passe par une infinité d'états d'équilibre statique) ou encore des calculs de résistance des matériaux (statique du solide déformable). Il est également utilisé pour effectuer des calculs de dynamique contrairement à ce que son nom pourrait laisser penser, le principe fondamental de la dynamique utilisant ce torseur.

Le champ des vitesses d'un solide indéformable en un instant donné est un torseur, appelé torseur cinématique du solide. La résultante est le vecteur instantané de rotation.

Soit A un point affecté d'une masse m et d'une vitesse ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {V} }}}$ par rapport à un référentiel donné. Si l'on choisit un point P quelconque, on peut définir le moment cinétique de A par rapport à P par :

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {L} }}(\mathrm {A} )={\overrightarrow {\mathrm {PA} }}\wedge m{\overrightarrow {\mathrm {V} }}}$.

Ce champ de vecteurs est un torseur appelé torseur cinétique de A. Sa résultante est la quantité de mouvement de A, ou impulsion, ${\displaystyle m{\overrightarrow {\mathrm {V} }}}$. Le calcul d'un torseur cinétique est souvent une étape intermédiaire pour calculer un torseur dynamique.

On définit de même le champ de moment dynamique

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {PA} }}\wedge m{\overrightarrow {a}}}$

où ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$ est l'accélération de A. Ce champ est un torseur appelé torseur dynamique. Sa résultante est le vecteur quantité d'accélération ${\displaystyle m{\overrightarrow {a}}}$.

La notion de moment dynamique permet de généraliser le principe fondamental de la dynamique (PFD) à la mécanique du solide, en prenant en compte la rotation propre du solide. Avec les torseurs, le PFD s'énonce ainsi :

« il existe un repère galiléen tel qu’à tout instant, le torseur dynamique du solide dans son mouvement par rapport à ce repère est égal au torseur des forces extérieures agissant sur le solide. »

Le torseur des petits déplacements est principalement utilisé en métrologie. Sa résultante est une rotation et son moment est un déplacement. Ce torseur n'est valable que lorsque l'hypothèse des petits déplacements est vérifiée, c'est-à-dire lorsque les déplacements et les rotations sont petits. Cela permet notamment de linéariser les formules trigonométriques et ainsi de simplifier les calculs. Ils sont par exemple utilisés pour déterminer un plan des moindres carrés en fonction de plusieurs mesures de points pour vérifier les contraintes géométriques d'une pièce usinée. La vérification de conformité géométrique est un domaine se prêtant bien à l'utilisation de ces torseurs, car les défauts des pièces sont en général négligeables devant les dimensions des pièces étudiées.

Le torseur de cohésion est un torseur statique utilisé pour modéliser les actions mécaniques internes dans l'étude des solides indéformables.

De manière générale, tout solide en mouvement et subissant des efforts extérieurs peut être modélisé par 2 torseurs:

• Le torseur cinématique décrivant le mouvement du solide :${\displaystyle \{{\mathcal {V}}(S/R)\}_{A/R}={\begin{Bmatrix}\ {\overrightarrow {\Omega }}(S/R)\\\ {\overrightarrow {V}}(A\in S/R)\end{Bmatrix}}_{A/R}}$
• Le torseur des efforts extérieurs ou torseur statique (S: le solide, E: l'extérieur) :${\displaystyle {{\mathcal {T}}_{A}(E\to S)}_{/R}={\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {\mathcal {R}}}(E\to S)\\{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{A}}}(E\to S)\end{Bmatrix}}_{A/R}}$

Puissance extérieure (${\displaystyle {\mathcal {P}}_{ext}}$)

Soit un ensemble de solides (notés ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{i}}$ avec i un indice) qui constitue ce que l'on appelle un système (noté ${\displaystyle S}$). La puissance extérieure est la puissance de tous les efforts extérieurs qui s'appliquent sur le système. On se place par rapport au référentiel ${\displaystyle R}$ qui est le référentiel de base c'est-à-dire le référentiel du laboratoire, considéré comme galiléen.

Pour calculer la puissance extérieure instantanée du système en mouvement subissant des efforts extérieurs, on calcule le comoment (${\displaystyle \otimes }$) des 2 torseurs : ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{ext}={\begin{Bmatrix}\ {\overrightarrow {\Omega }}(S/R)\\\ {\overrightarrow {V}}(A\in S/R)\end{Bmatrix}}_{A/R}\otimes {\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {\mathcal {R}}}(R\to S)\\{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{A}}}(R\to S)\end{Bmatrix}}_{A/R}}$

Ce qui donne en fait la formule suivante :

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{ext}={\overrightarrow {\mathcal {R}}}(R\to S).{\overrightarrow {V}}(A\in S/R)+{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{A}}}(R\to S).{\overrightarrow {\Omega }}(S/R)}$

Puissance intérieure (${\displaystyle {\mathcal {P}}_{int}}$)
Les puissances intérieures (${\displaystyle {\mathcal {P}}_{int}}$) d'un système sont les puissances entre les divers solides. Il faut utiliser la même méthode de calcul c'est-à-dire effectuer un comoment des 2 torseurs. Seulement il faut faire très attention aux torseurs à utiliser. En effet, ce comoment s'effectue entre le torseur des efforts d'un solide sur un autre et le torseur distributeur des vitesses du solide en question par rapport à l'autre solide ! .

Ce qui donne : ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{int}={\begin{Bmatrix}\ {\overrightarrow {\Omega }}(Si/Sj)\\\ {\overrightarrow {V}}(A\in Si/Sj)\end{Bmatrix}}_{A/Sj}\otimes {\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {\mathcal {R}}}(Sj\to Si)\\{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{A}}}(Sj\to Si)\end{Bmatrix}}_{A/Si}}$

Remarques :

• C'est la formule générale. Si on considère un solide en translation ou si on considère un solide en rotation subissant un couple, on retombe sur les formules déjà précédemment énoncées.
• L'expression de ces 2 types de puissances nous amène au théorème de l'énergie cinétique :
  ${\displaystyle {\frac {dE_{c}}{dt}}\ =\sum {\mathcal {P}}_{ext}+\sum {\mathcal {P}}_{int}}$

La puissance instantanée calculée de cette manière ne dépend pas du point A du solide mais le comoment doit être calculé avec les 2 torseurs exprimés au même point.

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Algèbre et applications à la géométrie, Paris/New York/Barcelone/1987, Masson, coll. « Cours de mathématiques spéciales » (n^o 2), 1987, 297 p. (ISBN 2-225-63404-1), chap. 8 (« Les torseurs »), p. 276-294
• Michel Combarnous, Didier Desjardins et Christophe Bacon, Mécanique des solides et des systèmes solides, Dunod, coll. « Sciences sup, Cours de physique », 2004, 3^e éd. (ISBN 978-2-10-048501-7), chap. 2.3 (« Torseur »), p. 18-22
• Lise Lamoureux, Cinématique et dynamique des solides, Paris, Hermès, 1992 (ISBN 2-86601-312-3)

• Pseudovecteur

• torseur en mécanique SciencesIndustrielles.com
• cours de mathématique sur les torseurs de Claude Bonnecaze, page 35 : http://claude.bonnecaze.free.fr/Meca.pdf
• éléments de cours de niveau supérieur : Préparation aux agrégations de mécanique et de génie mécanique, ENS Cachan, Sylvie Pommier

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