Revêtement (mathématiques)

Soient X et B deux espaces topologiques.

Un homéomorphisme local[1] est une application π : X → B, appelée projection, telle que pour tout point x de X, il existe un ouvert U de X contenant x et un ouvert V de B tels que la restriction de π à U soit un homéomorphisme sur V.

Un espace X muni d'un homéomorphisme local π : X → B est dit étalé au-dessus de B. L'espace d'arrivée B de la projection est appelé la base de l'homéomorphisme local.

Pour tout point b ∈ B, on appelle fibre de X au-dessus du point b et l'on note X(b) le sous espace π⁻¹(b) ⊂ X.

On appelle section (continue) de π[1], ou de X, au-dessus de B, une application continue σ : B → X telle que π ∘ σ = Id_B.

Un revêtement d'un espace topologique B est[2] un espace X, muni d'un homéomorphisme local π : X → B surjectif[3], tel que pour tout point b de B, il existe un ouvert V contenant b, un espace discret F et un homéomorphisme Φ : π⁻¹(V) → V×F qui commute avec les projections sur l'espace B, c'est-à-dire que si Φ(x) = (c, f) alors π(x) = c.

Autrement dit : un revêtement est un fibré à fibres discrètes, avec la remarque que si la base B n'est pas connexe, la fibre F dépend du point base b et s'identifie à la fibre π⁻¹(b).

Plus simplement[4]^,[5] : π : X → B est un revêtement si tout point de B appartient à un ouvert V tel que π⁻¹(V) soit une réunion disjointe d'ouverts appliqués homéomorphiquement par π sur V.

Théorème[6] : Soient n un entier naturel non nul, X un espace séparé et π : X → B un homéomorphisme local dont toutes les fibres ont n éléments, alors π est un revêtement.

Si F est un espace discret, l'application ${\displaystyle (b,f)\mapsto b}$ définit un revêtement ${\displaystyle B\times F\to B}$ au-dessus de B. Plus généralement, un revêtement est dit trivial si l'on peut prendre V = B dans la définition, c'est-à-dire s'il existe un espace discret F et un homéomorphisme ${\displaystyle \Phi :X\to B\times F}$ qui commute avec les projections sur l'espace B, c'est-à-dire que si ${\displaystyle f\in F}$, alors ${\displaystyle \pi (\Phi ^{-1}(b,f))=b}$. Un homéomorphisme est un exemple de revêtement trivial.

Soit S¹ le cercle dans le plan ℝ² = ℂ. La droite réelle ℝ est alors un revêtement de S¹ défini par l'application :

${\displaystyle p:\mathbb {R} \to S^{1},\quad p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))=\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi t}.}$

Chaque fibre est ici infinie dénombrable : ${\displaystyle p^{-1}(p(x))=x+\mathbb {Z} }$.

La construction se généralise au revêtement exponentiel du tore : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {T} ^{n}=(\mathbb {S} ^{1})^{n}\subset \mathbb {R} ^{2n}.}$

La fibre est dénombrable : ${\displaystyle p^{-1}(0)=\mathbb {Z} ^{n}}$.

L'application p du plan complexe privé de l'origine ℂ*

${\displaystyle p:\mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} ^{*},\quad p(z)=z^{n}}$ définit un revêtement.

Chaque fibre est ici finie et a n éléments.

L'application ${\displaystyle p=\exp }$ du plan complexe ℂ

${\displaystyle p:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{*},\quad p(z)=\mathrm {e} ^{z}}$ définit un revêtement.

Chaque fibre est ici infinie dénombrable : ${\displaystyle p^{-1}(p(x))=x+2\mathrm {i} \pi \mathbb {Z} }$.

Revêtement à deux feuillets du ruban de Möbius, homéomorphe à un cylindre. Le ruban de Möbius vient se glisser entre les deux feuillets.

Le cylindre (ou anneau) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times [0;1]}$ est un revêtement à deux feuillets de la bande de Möbius.

La bande de Möbius est une variété topologique non orientable alors que son revêtement est orientable. On montre plus généralement que toute variété connexe non orientable possède un revêtement connexe à deux feuillets orientable. C'est le cas notamment du plan projectif dont le revêtement est une sphère (voir ci-dessous), et de la bouteille de Klein dont le revêtement est le tore.

Pour n > 1, l'application canonique ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}}$ est un revêtement de l'espace projectif (réel) ; la fibre a deux éléments.

Dans le cas du plan projectif dont une représentation dans ℝ³ est donnée par la surface de Boy, il est possible de transformer la sphère par immersion en un revêtement à deux feuillets de cette surface de Boy. Si on fait se traverser ces deux feuillets, on procède alors à un retournement de la sphère.

On procède de même pour le retournement du tore, après avoir fait coïncider celui-ci en un revêtement à deux feuillets de la bouteille de Klein.

Soit X, Y et Z trois espaces topologiques et ${\displaystyle \varphi :X\to Z}$ et ${\displaystyle \psi :Y\to Z}$ deux morphismes (applications continues). On appelle produit fibré de X et Y au-dessus de Z, un espace topologique, noté ${\displaystyle X\times _{Z}Y}$ et un couple de morphismes, ${\displaystyle p_{X}:X\times _{Z}Y\to X}$ et ${\displaystyle p_{Y}:X\times _{Z}Y\to Y}$, tels que pour tout espace topologique A et tout couple de morphismes ${\displaystyle f:A\to X}$ et ${\displaystyle g:A\to Y}$ vérifiant ${\displaystyle \varphi \circ f=\psi \circ g}$, il existe un morphisme ${\displaystyle p_{A}:A\to X\times _{Z}Y}$ tel que ${\displaystyle f=p_{X}\circ p_{A}}$ et ${\displaystyle g=p_{Y}\circ p_{A}=g}$.

Soit Γ un groupe discret opérant proprement et librement sur un espace localement compact E, la projection E → E/Γ définit un revêtement de fibre Γ.

En particulier si Γ est un sous-groupe discret d'un groupe topologique G, la projection G → G/Γ est un revêtement de fibre Γ.

Un morphisme de revêtements au-dessus de B est une application continue ${\displaystyle f:X\to X'}$ (où X et X' sont des revêtements) qui commute avec les projections ${\displaystyle \pi _{X}}$ et ${\displaystyle \pi _{X'}}$, c'est-à-dire telle que :

${\displaystyle \pi _{X'}\circ f=\pi _{X}}$.

L'application identité Id_X est un morphisme de revêtements.

La composée de deux morphismes de revêtements est un morphisme.

Par conséquent, les revêtements de base B avec leurs morphismes forment une catégorie.

Théorème — Tout revêtement d'un intervalle compact de ℝ est trivial.

Plus généralement :

Théorème[7] — Tout revêtement d'un espace simplement connexe et localement connexe est trivial.

Théorème[8] — Tout fibré sur un CW-complexe contractile est trivial.

Un cas particulier fréquent est donné par le revêtement du cercle unité B du plan complexe par la droite réelle X. Le résultat précédent porte alors le nom de théorème de relèvement.

Le groupe fondamental de la base, π₁(B, b), opère par une action de groupe à droite sur la fibre X(b) = π⁻¹(b), de façon compatible avec l'action à gauche du groupe des automorphismes du revêtement.

Soient Z un espace connexe par arcs et localement connexe par arcs, f : (Z, z) → (B, b) une application continue et x ∈ X(b). Une condition nécessaire et suffisante pour que f possède un relèvement g : (Z, z) → (X, x) est que les morphismes induits, f_# : π₁ (Z, z) → π₁(B, b) et π_# : π₁(X, x) → π₁(B, b), vérifient :

${\displaystyle f_{\#}(\pi _{1}(Z,z))\subset \pi _{\#}(\pi _{1}(X,x)).}$

De plus, le relèvement g est alors unique.

Un revêtement est dit galoisien (ou régulier ou normal) s'il est connexe par arcs et le groupe des automorphismes agit transitivement sur la fibre de chaque point. Il est dit abélien si de plus le groupe est abélien.

Si B est connexe par arc, alors on a un isomorphisme entre les groupes d'homotopie, conséquence de la suite exacte longue d'une fibration :

${\displaystyle \pi _{n}(E)\simeq \pi _{n}(B),\quad n\geq 2}$.

Par exemple, la droite réelle ℝ est un revêtement de S¹ donc ${\displaystyle \pi _{n}(S^{1})=0,n\geq 2}$.

Théorème de Nielsen-Schreier — Tout sous-groupe d'un groupe libre est un groupe libre.