Fibré

Un espace fibré peut se présenter comme la donnée d'une application continue ${\displaystyle \pi }$ (projection ou pied) entre deux espaces topologiques séparés ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle B}$ (espace total et base), d'un espace séparé ${\displaystyle F}$ (fibre) sur lequel agit un groupe topologique ${\displaystyle G}$ (groupe de structure)[2] et d'un ensemble d'homéomorphismes (cartes) appelés trivialisations locales

${\displaystyle \phi _{i}\colon \ U_{i}\times F{\stackrel {\simeq }{\longrightarrow }}\pi ^{-1}(U_{i})}$

où la famille[3] ${\displaystyle (U_{i})}$ décrit un recouvrement ouvert de ${\displaystyle B}$, satisfaisant les conditions suivantes :

1. Les cartes commutent avec les projections :

   ${\displaystyle \forall (b,y)\in U_{i}\times F,\ \pi (\phi _{i}(b,y))=b\ .}$

2. Les changements de carte sont induits par des sections dans le groupe de structure, autrement dit pour tout couple de cartes (${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle \psi }$) définies sur un même[4] ouvert ${\displaystyle U}$×${\displaystyle F}$ il existe une application continue ${\displaystyle \theta }$ de ${\displaystyle U}$ dans ${\displaystyle G}$ telle que :

   ${\displaystyle \forall (b,y)\in U\times F,\ \psi (b,y)=\phi (b\,,\,\theta (b)\!\cdot \!y)\ .}$

L'ensemble des cartes est en général supposé maximal satisfaisant ces conditions, c'est-à-dire que tout homéomorphisme commutant avec les projections et compatible avec les autres cartes est aussi une carte.

Un fibré de fibre ${\displaystyle F}$ et de base ${\displaystyle B}$ se dit parfois « en ${\displaystyle F}$ sur ${\displaystyle B}$ ».

Un espace fibré est dit trivialisable s'il admet une carte ayant l'espace total pour image. Il est dit trivial lorsqu'une telle carte est précisée, ce qui l'identifie comme espace fibré au produit cartésien de la base et de la fibre.

Une réduction du groupe de structure est la donnée d'un sous-ensemble de cartes dont la réunion des images est l'espace total et qui reste maximal pour un groupe de structure plus petit. Une trivialisation est donc une réduction du groupe de structure au groupe trivial.

• Le ruban de Möbius muni de la projection sur un cercle médiateur est un espace fibré non trivial, de fibre un intervalle réel et dont le groupe de structure peut se réduire à deux éléments (l'identité et une réflexion).
• La bouteille de Klein est un fibré en cercles sur le cercle dont le groupe de structure se réduit aussi à deux éléments.
• La fibration de Hopf est un fibré en cercles sur la sphère, dont le groupe de structure se réduit au groupe des isométries positives du cercle.
• La projection du premier quadrant sur sa bissectrice est une fibration qui ne définit pas un fibré, car la préimage de l'origine est réduite à un point tandis que la préimage de tout autre point de la bissectrice est un segment d'intérieur non vide.

• Un revêtement est un espace fibré dont la fibre est discrète.
• Un fibré vectoriel est un espace fibré dont la fibre est un espace vectoriel et le groupe de structure est le groupe linéaire. C'est le cas des fibrés tangent et cotangent sur une variété différentielle.
• Un fibré différentiel est un fibré pour lequel l'espace total, la base et la fibre sont des variétés différentielles[5].
• Un fibré principal est un fibré pour lequel le groupe de structure agit librement et transitivement sur la fibre, autrement dit un fibré pour lequel la fibre peut s'identifier au groupe de structure muni de l'action à droite. C'est le cas du fibré de Hopf, ainsi que du fibré des repères d'une variété différentielle.
• Un fibré associé est un fibré induit par un fibré principal et par une action de groupe.