Chiffre significatif

Le nombre de chiffres significatifs indique la précision d'une mesure physique. Il s'agit des chiffres connus avec certitude plus le premier chiffre incertain. La précision (ou l'incertitude) avec laquelle on connait la valeur d'une grandeur dépend du mesurage (ensemble d'opérations ayant pour but de déterminer une valeur d'une grandeur).

Par exemple : 12 345 a cinq chiffres significatifs. Le premier chiffre incertain est le 5.

Cette notion est une simplification de la notion d'incertitude de mesure : au lieu d'exprimer l'incertitude sous la forme d'une valeur, on suppose implicitement qu'elle est de l'ordre de grandeur de l'unité du premier chiffre incertain. L'exemple ci-dessus est ainsi équivalent à 12 345 ± 1.

Dans un nombre

Convention

On rencontre fréquemment dans les tables des valeurs telles que 12,43, avec quatre chiffres significatifs. Par convention il s'agit d'une valeur abrégée pour 12,43 ± 0,01. Si la valeur est 12,43 ± 0,05 on peut écrire 12,43(5).

Cas du 0

Le nombre de chiffres situés après le dernier 0 non significatif représente le nombre de chiffres significatifs :
- 0,8 a un chiffre significatif,
- 0,0052 a deux chiffres significatifs,
- 0,31 a deux chiffres significatifs ;
lorsque le 0 est le dernier chiffre (donc placé à droite), il est significatif :
- 1,200 a quatre chiffres significatifs,
- 0,0520 a trois chiffres significatifs ;
le cas des nombres entiers tels : 400, 1000, 10 peut prêter à confusion :
- si le résultat d'une mesure donne 400 et qu'un seul chiffre est significatif alors le résultat final peut être écrit 4 × 10² ou encore 0,4 × 10³,
- si deux chiffres sont significatifs alors le résultat final peut être écrit 4,0 × 10² ou encore 0,40 × 10³,
- si trois chiffres sont significatifs alors le résultat final peut être écrit 4,00 × 10² ou encore 0,400 × 10³ ou encore 400,
- si quatre chiffres sont significatifs alors le résultat final peut être écrit 4,000 × 10² ou encore 0,4000 × 10³ ou encore 400,0.

Selon la façon dont il est écrit, le nombre de chiffres significatifs varie. Il peut donc être préférable d'écrire de tels nombres en notation scientifique ou en notation ingénieur, car avec ces notations, par convention, tous les chiffres de la mantisse sont significatifs.

Dans une opération

Lors d'un calcul, les données sont parfois fournies avec des nombres de chiffres significatifs différents. Le résultat du calcul doit alors être exprimé avec le nombre de chiffres significatifs de la donnée qui en possède le moins.

Addition et soustraction

Après une addition ou une soustraction, le résultat ne doit pas avoir plus de décimales que le nombre qui en comporte le moins.

Exemple 1

On calcule la masse molaire M du thiosulfate de sodium pentahydraté Na₂S₂O₃, 5H₂O, avec M(Na) = 23,0 g/mol, M(O) = 16,0 g/mol, M(S) = 32,05 g/mol, M(H) = 1,008 g/mol :

M(Na₂S₂O₃, 5H₂O) = 248,2 g/mol car M(Na) et M(O) sont connus au dixième de gramme par mole : ils imposent donc leur précision.

Exemple 2

Calculer le périmètre d'un rectangle de longueur L = 143 cm (donc trois chiffres significatifs et connu au centimètre près, pas de décimale) et de largeur l = 5,7 cm (donc deux chiffres significatifs et connu au dixième de centimètre près, une décimale).

P = 2 × (5,7 + 143) cm
P = 2 × 148,7 cm
P = 297,4 cm

La valeur du périmètre s'écrit donc P = 297 cm.

Multiplication et division

Après une multiplication ou une division, le résultat ne doit pas avoir plus de chiffres significatifs que la valeur la moins précise.

Exemple

On dissout une masse m = 6,17 g de thiosulfate de sodium pentahydraté (de masse molaire M = 248,2 g·mol^-1), dans un volume V = 150,0 mL de solution. La concentration molaire apportée est

c = m/MV = 6,17/(248,2 × 150,0 × 10⁻³)
c = 0,165 726 564… mol/L résultat brut incorrect
c = 0,166 mol/L résultat correct avec trois chiffres significatifs

Logarithme

Après un logarithme, le résultat doit avoir autant de chiffres significatifs après la virgule que la valeur.

Cette règle amène à des subtilités avec le logarithme décimal.

Les nombres 4,2 × 10² et 4,2 × 10³ ont deux chiffres significatifs. Leurs logarithmes décimaux sont respectivement

2,623 2…
3,623 2…

Le nombre avant la virgule n'est que la valeur de l'exposant. Cette valeur ne servant qu'à positionner la virgule, elle n'est pas elle-même un chiffre significatif. Par conséquent le résultat correct s'écrit :

2,62
3,62

Logiciels de calcul et chiffres significatifs

Comme décrit ci-dessus, la question des chiffres significatifs repose sur une information qui va au-delà de la valeur du nombre. C'est pourquoi la plupart des logiciels de calcul ou de manipulation de données numériques ignore cette question. L'affichage précis des nombres, et en particulier donc du nombre de chiffres significatifs, est à la charge de l'utilisateur ; sinon, un choix par défaut est utilisé, parfois modifiable globablement, toujours prédéfini "en usine" dans chaque logiciel, sans connaissance des futurs usages et besoins.

Apparaît ainsi la question des chiffres non-significatifs, essentielle à considérer lorsque l'on souhaite partager ou publier des résultats, typiquement un tableau de données mesurées ou calculées, qui ont été travaillés à partir de ces outils informatiques (par ex. des programmes de traitement de données, une feuille de calcul électronique, etc.) qui ne connaissent pas la notion de précision ou d'incertitude. Il est ainsi essentiel de penser à reformater chaque nombre en fonction de ses chiffres réellement significatifs, faute de quoi, ce sont les choix de programmation par défaut qui les déterminent, et il y a tromperie quant à la précision réelle des valeurs ainsi montrées (on peut alors parler de fraude scientifique).

Notons que quelques logiciels généraux (et plus de logiciels dits "métier", spécifiques à un champ d'application, comme en ingénierie sur tel ou tel domaine. Exemples : résistance des matériaux, calculs de viscosité, détermination de pH, etc.) sont capables d'utiliser les informations supplémentaires, et définir des méta-données pour un affichage correct en termes de chiffres significatifs. Ainsi certains modules spécialisés sur la métrologie et la propagation des incertitudes dans des logiciels de calcul formel, des packages ou librairies spécifiques pour les langages de calcul scientifique.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

pdf Une fiche recto-verso sur les chiffres significatifs et les incertitudes.
Calculateur de chiffres significatifs en ligne

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