Tenseur

Un tenseur représente une application multilinéaire. L'algèbre des tenseurs est appelée algèbre tensorielle ou algèbre multilinéaire.

La définition des tenseurs exposée ici est la plus intrinsèque, parce qu'elle ne fait pas usage des bases, et est la plus utilisée en mathématiques.

Soit V un espace vectoriel de dimension n sur un corps commutatif ${\displaystyle K}$. L'espace dual V* est l'espace vectoriel formé de toutes les formes linéaires définies sur V. L'espace V* est aussi de dimension n. Les éléments de V et V* sont appelés respectivement vecteurs et covecteurs.

Un tenseur ${\displaystyle T}$ associe alors à h vecteurs ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{h}}$ et k covecteurs ${\displaystyle {\vec {w}}_{1},\ldots ,{\vec {w}}_{k}}$ un scalaire

${\displaystyle T({\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{h},{\vec {w}}_{1},\ldots ,{\vec {w}}_{k}).\,\!}$

La multilinéarité garantit que la fonction est linéaire sur chaque variable.

L'ordre ou type ou valence du tenseur est le couple (h, k). On donne aussi le nom d'ordre ou de rang à la somme h+k.

Dans le cas où l'espace vectoriel V est de dimension finie n, on se donne une base de V ${\displaystyle ({\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n})}$ (avec les indices situés en bas), V* étant alors muni de la base duale, notée ici ${\displaystyle ({\vec {e}}^{\;1},\dots ,{\vec {e}}^{\;n})}$ (avec les indices notés en haut). Du fait de la multilinéarité, pour déterminer un tenseur T de type (h, k), il suffit de donner les valeurs qu'il prend lorsqu'on l'applique sur les vecteurs de base, autrement dit de donner les valeurs :

${\displaystyle T({\vec {e}}^{i},{\vec {e}}^{j},...,{\vec {e}}_{l},{\vec {e}}_{m},...)={T^{ij...}}_{lm...}}$

où les quantités ${\displaystyle {T^{ij...}}_{lm...}}$ possèdent h+k indices pouvant varier de 1 à n. Parmi ces indices, h sont conventionnellement notés en haut et k en bas. On appelle composante chacun des nombres ${\displaystyle {T^{ij...}}_{lm...}}$. Représenter un tenseur d'ordre h+k donné nécessite donc ${\displaystyle n^{h+k}}$ composantes.

La position des indices distingue ceux qui correspondent à un vecteur ou à un covecteur, en les disposant soit en haut, soit en bas. Un vecteur de V s'écrit ${\displaystyle x=\sum x^{i}{\vec {e}}_{i}}$, et les ${\displaystyle x^{i}={\vec {e}}^{\;i}(x)}$ s'appellent composantes contravariantes. Un vecteur de V* s'écrit ${\displaystyle y=\sum y_{i}{\vec {e}}^{\;i}}$, et les ${\displaystyle y_{i}=y({\vec {e}}_{i})}$ s'appellent composantes covariantes. De même, en ce qui concerne les composantes du tenseur, on mettra les indices en haut pour les contravariants, en bas pour les covariants. Par exemple, avec un tenseur du type (1,2), on posera ${\displaystyle T({\vec {e}}^{\;i},{\vec {e}}_{j},{\vec {e}}_{k})={T^{i}}_{jk}}$ pour chacune des ${\displaystyle n^{3}}$ composantes de T.

• Un tenseur d'ordre 0 est un scalaire. En effet, celui-ci est un simple nombre, qui ne dépend d'aucune base. Par exemple en mécanique classique masse, température, et autres quantités scalaires sont des tenseurs d'ordre 0.
• Un tenseur d'ordre 1 est assimilable à un vecteur ou à un covecteur. En effet, si l'espace V est de dimension n, un tenseur d'ordre 1 dispose de n composantes dans une base donnée, tout comme un vecteur. Si l'on change de base, les composantes changent, mais le tenseur ou le vecteur correspondant reste le même. En tant qu'application, le tenseur est une forme linéaire définie sur V ou sur V*, et est donc un élément de V* ou de V. Force, déplacement et autres quantités vectorielles sont des tenseurs d'ordre 1.
• Un tenseur d'ordre 2 est une forme bilinéaire. Une base étant choisie, cette forme est décrite par une matrice M et possède ${\displaystyle n^{2}}$ coefficients qui dépendent de la base de V. Le tenseur représente toutes les matrices obtenues à partir de M par changement de base.
• Plus généralement, on peut envisager des objets définis avec trois, quatre, ${\displaystyle m}$ indices ${\displaystyle \left(A_{ijk\ldots }\right)}$. Un objet défini par ${\displaystyle m}$ indices et vérifiant les formules de changement de base est un tenseur d'ordre ${\displaystyle m}$. Sur un espace vectoriel de dimension finie n, chaque indice peut prendre les valeurs de 1 à n. Un tenseur d'ordre m sur cet espace vectoriel a donc ${\displaystyle n^{m}}$ coefficients selon une base donnée. Par exemple, si le tenseur d'ordre ${\displaystyle m}$ représente une application multi-linéaire de V×V×… ×V dans ${\displaystyle \mathbb {K} }$, alors :

${\displaystyle \mathrm {T} ({\vec {a}}~,{\vec {b}}~,\ldots ,{\vec {l}}~)=\sum _{i,j,...,u}a^{i}b^{j}\ldots \ l^{u}\ \mathrm {T} (e_{i},e_{j},\ldots ,e_{u})}$

On retrouve les coefficients du tenseur T en identifiant ${\displaystyle \mathrm {T} _{ij\ldots u}=\mathrm {T} (e_{i},e_{j},\ldots ,e_{u})}$.

Si le tenseur « relie » ${\displaystyle m}$ espaces vectoriels de dimensions différentes ${\displaystyle n_{1},n_{2},...n_{m}}$, alors le tenseur contient ${\textstyle \prod _{i=1}^{m}n_{i}}$ coefficients.

Dans les notations, ${\displaystyle T_{ijk...}}$ représente la composante du tenseur T d'indices ${\displaystyle (i,j,k,...)}$. Quand on veut désigner un tenseur dans sa globalité tout en indiquant l'ordre de ce tenseur, on peut souligner le nom du tenseur d'autant de traits que l'ordre du tenseur. Ainsi, avec cette notation, un vecteur sera noté ${\displaystyle {\underline {u}}}$ plutôt que ${\displaystyle {\vec {u}}}$, et un tenseur de contraintes mécaniques (d'ordre 2) sera noté ${\displaystyle {\underline {\underline {\sigma }}}}$. Ceci est particulièrement utile quand on manipule des tenseurs d'ordres différents, ce qui est le cas en déformation élastique, pour laquelle on caractérise le comportement de déformation des matériaux par un tenseur ${\displaystyle {\underline {\underline {\underline {\underline {M}}}}}}$ d'ordre 4, et les déformations ${\displaystyle {\underline {\underline {\varepsilon }}}}$ et contraintes ${\displaystyle {\underline {\underline {\sigma }}}}$ par des tenseurs d'ordre 2. Dans le cas le plus simple de comportement élastique linéaire, ${\displaystyle {\underline {\underline {\sigma }}}={\underline {\underline {\underline {\underline {M}}}}}:{\underline {\underline {\varepsilon }}}}$.

Dans les applications physiques, on distingue les indices matriciels, selon qu'ils sont contravariants (en les mettant en exposant) ou covariants (en les mettant en indice), en fonction du comportement de la grandeur tensorielle considérée face à des transformations linéaires de l'espace. La valence d'un tenseur est le nombre des indices matriciels associé au type de chacun d'eux ; des tenseurs de même ordre mais de valences différentes ne se comportent pas de la même façon lors de changement du système de coordonnées. Par ailleurs, un indice covariant peut être changé en indice contravariant par produit tensoriel contracté avec le tenseur métrique. On appelle cette opération élever ou abaisser des indices.

On note la valence en disant que le tenseur est de type (h, k) où h est le nombre d'indices contravariants et k le nombre d'indices covariants. La valence ne note pas l'ordre des indices. La valence est aussi utilisée quand on note le tenseur par une lettre, un indice en haut signifie alors que le tenseur est contravariant pour cet indice, un indice en bas signifie que le tenseur est covariant pour cet indice. On notera donc les vecteurs avec un indice haut, et les formes linéaires avec un indice bas. Ainsi :

• les vecteurs sont des tenseurs d'ordre 1 contravariants. Ils sont donc tenseurs de valence (1,0) ;
• les formes linéaires sont des tenseurs d'ordre 1 covariants. Ils sont de valence (0,1) ;
• pour le changement de base d'un tenseur (1,1), on aura une multiplication par la matrice de changement de base, et une multiplication par son inverse, exactement comme pour les matrices d'une application linéaire en algèbre linéaire. Un tenseur (1, 1) peut en effet être considéré comme une application linéaire. Soit T un tenseur (1,1) défini sur ${\displaystyle V^{*}\times V}$. À un couple (w, v) formé d'une forme linéaire w et d'un vecteur v, il associe un scalaire. Pour tout vecteur v, l'application qui à w associe T(w, v) et qui est notée T(., v) ou T(v) est alors une forme linéaire sur V*, c'est-à-dire un vecteur de V. Ainsi, T associe à un vecteur v un vecteur T(v). En outre, cette correspondance est linéaire ;
• pour le changement de base d'un tenseur (0,2), on aura deux multiplications par la matrice de changement de base, exactement comme pour les matrices d'une forme bilinéaire. Un tenseur (0, 2) est en effet une forme bilinéaire.

L'intérêt d'une telle notation, c'est qu'en cas de changement de base, elle donne directement le nombre de multiplications par la matrice de changement de base à effectuer : k, et par son inverse : h.

Avant de fournir la procédure pour calculer les Jacobiens, il nous semble approprié d'établir la règle des indices en contravariance et covariances, lorsqu'une dérivée est impliquée. Si l'on considère la division de deux fractions qui donne l'égalité ${\displaystyle (a/b)/(c/d)=a\,d/b\,c}$, lorsqu'une dérivée est impliquée avec la notation tensorielle, le résultat est tel que ${\displaystyle {\frac {\partial U_{j}^{i}}{\partial V_{m}^{k}}}=R_{jk}^{im}}$.

Il s'ensuit que pour le Jacobien ${\displaystyle J_{s'}^{s}}$, permettant de passer des s' aux s, on remarque, en comparant avec l'expression des fractions, que s joue le rôle de i, s' joue le rôle de k, et que j et m sont absents, donc ${\displaystyle J_{s'}^{s}={\frac {\partial Z^{i}}{\partial Z^{i'}}}}$

Donc non seulement la notation tensorielle nous permet de savoir quel Jacobien utiliser, mais quelles dérivées sont impliquées :

${\displaystyle J_{s'}^{s}={\frac {\partial Z^{i}}{\partial Z^{i'}}}}$ et non pas ${\displaystyle J_{s'}^{s}={\frac {\partial Z^{i'}}{\partial Z^{i}}}}$

On peut démontrer que les deux Jacobiens, ${\displaystyle J_{i'}^{i}}$ et ${\displaystyle J_{i}^{i'}}$ sont mutuellement l'inverse l'un de l'autre et ce, quel que soit le système de coordonnées initial ou final. En notation tensorielle, une telle relation peut être notée en utilisant le symbole de Kronecker:

${\displaystyle J_{i'}^{i}J_{j}^{i'}=\delta _{j}^{i}}$ où ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ est égal à 1 si i=j, mais 0 autrement. À noter l'utilisation d'un indice additionnel, j, pour éviter une sommation additionnelle si on avait réutilisé i, au lieu de j.

Puisqu'on y est, considérons que ${\displaystyle \delta }$ est une matrice, alors ${\displaystyle \delta _{i}^{i}}$ est une sommation implicite car l'indice est répété en présence contravariante et covariante: ${\displaystyle \delta _{1}^{1}+\delta _{2}^{2}+\delta _{3}^{3}=1+1+1=3}$.

Notons également l'utilisation (dans un énoncé algébrique) du symbole de Kronecker pour "absorber" un indice en un autre: ${\displaystyle A_{i}\delta _{j}^{i}==A_{j}}$.

On définit un tenseur d'ordre 0 sous transformation, ou vrai scalaire, comme étant un scalaire qui, en plus d'être un scalaire, ne change pas de valeur (numériquement, compte tenu de ses unités) lorsqu'on change de système de coordonnées. Ainsi, une longueur entre deux points précis est un tenseur d'ordre 0. De même, la température en un point que je montre du bout de mon doigt ne change pas si je change le système de référence. Par contre, la distance de ce même point à l'origine est également un scalaire, mais la valeur numérique de ce scalaire change si je change d'origine. La distance à l'origine n'est donc pas un tenseur d'ordre 0 sous transformation. Quoique la distance à l'origine est un scalaire, elle n'est pas un vrai scalaire. Le mot "vrai", dans cette expression, n'a pas son sens du langage commun. On pourrait lui substituer l'adjectif "super", mais le précédent historique est d'utiliser le mot vrai, dans ce contexte tensoriel.

On définit un tenseur d'ordre 1 sous transformation, ou vrai vecteur, comme étant un vecteur qui, en plus d'être un vecteur, est relié linéairement par son Jacobien à ce même vecteur dans un autre système. ${\displaystyle U^{i}}$ est un tenseur d'ordre 1 sous transformation si pour un changement du système de coordonnées, on a ${\displaystyle U^{i'}=J_{i}^{i'}U^{i}}$. La position est un vecteur, mais pas un tenseur d'ordre 1 sous transformation, comme le montre le passage d'un système cartésien à un système de coordonnées polaires, cylindriques, ou sphériques. La vitesse, dérivée première de la position, est un tenseur d'ordre 1.

En dimension 3 pour simplifier, soit une base ${\displaystyle B({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})}$. Les composantes du vecteur ${\displaystyle {\vec {u}}}$ sont ${\displaystyle (u^{1},u^{2},u^{3})}$. Dans une autre base ${\displaystyle B'({\vec {e'}}_{1},{\vec {e'}}_{2},{\vec {e'}}_{3})}$, elles sont ${\displaystyle (u^{1'},u^{2'},u^{3'})}$. On cherche comment passer de l'une à l'autre des représentations.

Dans la base B, les vecteurs de la base B' s'écrivent :

${\displaystyle {\vec {e'}}_{j}={e^{1}}_{j}\cdot {\vec {e}}_{1}+{e^{2}}_{j}\cdot {\vec {e}}_{2}+{e^{3}}_{j}\cdot {\vec {e}}_{3}}$

On peut ainsi définir la matrice de changement de base P de B vers B' :

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}{e^{1}}_{1}&{e^{1}}_{2}&{e^{1}}_{3}\\{e^{2}}_{1}&{e^{2}}_{2}&{e^{2}}_{3}\\{e^{3}}_{1}&{e^{3}}_{2}&{e^{3}}_{3}\end{pmatrix}}}$

Les colonnes de la matrice de changement de base sont les composantes des vecteurs de la nouvelle base dans l'ancienne. On a alors

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{pmatrix}}=P{\begin{pmatrix}u'^{1}\\u'^{2}\\u'^{3}\end{pmatrix}}}$ et

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u'^{1}\\u'^{2}\\u'^{3}\end{pmatrix}}=P^{-1}{\begin{pmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{pmatrix}}}$.

Les nouvelles composantes s'obtiennent à partir des anciennes composantes par multiplication d'une seule matrice : le tenseur est dit d'ordre 1. En outre, cette matrice est l'inverse de la matrice de changement de base : ces composantes sont dites contravariantes.

Soit M une matrice représentant une application linéaire ƒ d'un espace vers un autre pour une base donnée dans chaque espace. On peut donc changer de base dans l'espace de départ et dans l'espace d'arrivée. Soient P et Q les matrices de changement de base respectivement dans l'espace de départ et dans l'espace d'arrivée. La matrice M' représentant ƒ pour les deux nouvelles bases est ${\displaystyle M'=Q^{-1}MP}$. Le changement de base se fait par multiplication de deux matrices de changement de base : le tenseur est dit d'ordre 2. L'une des matrices utilisées est la matrice de changement de base, l'autre est son inverse : le tenseur est du type (1,1).

Si M est la matrice d'une forme bilinéaire définie sur V, alors, après un changement de base de matrice de passage P, la nouvelle matrice est ${\displaystyle M'=^{\rm {t}}PMP}$. Le changement de base se fait par multiplication de deux matrices de changement de base : le tenseur est dit d'ordre 2. Les deux matrices sont relatives à P et nullement à son inverse : le tenseur est doublement covariant, du type (0,2).

Considérons une forme linéaire ƒ sur un espace V, de dimension 3 par exemple. Celle-ci associe à un vecteur u un scalaire

${\displaystyle f(u)=f_{1}u^{1}+f_{2}u^{2}+f_{3}u^{3}}$

Les indices relatifs aux composantes du vecteur sont notés en haut, ceux relatifs à la forme linéaire en bas. Considérons la base duale notée ici ${\displaystyle (e^{1},e^{2},e^{3})}$ constituée des formes linéaires telles que :

${\displaystyle e^{i}(e_{j})={\delta ^{i}}_{j}}$ (symbole de Kronecker)

soit

${\displaystyle e^{i}(e_{j})=1}$ si ${\displaystyle i=j}$

${\displaystyle e^{i}(e_{j})=0}$ sinon

La forme linéaire s'écrit alors:

${\displaystyle f=f_{1}e^{1}+f_{2}e^{2}+f_{3}e^{3}}$

et l'on a :

${\displaystyle f(u)={\begin{pmatrix}f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{pmatrix}}}$

Si l'on fait un changement de base de l'espace V au moyen de la matrice de passage P, alors les composantes du vecteur u dans la nouvelle base sont

${\displaystyle P^{-1}{\begin{pmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{pmatrix}}}$

En revanche, les composantes de ${\displaystyle f}$ dans la nouvelle base duale sont

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{pmatrix}}P}$

On voit que dans le cas du changement de la base de formes linéaires, on multiplie par la matrice de changement de base, alors que dans le cas du changement de la base de vecteurs, on multiplie par son inverse. Le tenseur associé à une forme linéaire est d'ordre 1, covariant, donc du type (0,1).

La somme de deux tenseurs de même ordre et même valence est un tenseur de même ordre et de même valence que les deux tenseurs de départ, obtenu en sommant les composantes de deux tenseurs. Par exemple, dans le cas de tenseurs T et U d'ordre 2, ${\displaystyle ({\underline {\underline {T}}}+{\underline {\underline {U}}})_{ij}}$ = ${\displaystyle {\underline {\underline {T}}}_{ij}+{\underline {\underline {U}}}_{ij}}$.

Le produit d'un tenseur et d'un scalaire est un tenseur de même ordre et de même valence que le tenseur de départ, obtenu en multipliant les composantes du tenseur par le scalaire.

L'ensemble des tenseurs d'ordre et de valence donnés forment donc un espace vectoriel.

Le produit tensoriel entre ${\displaystyle T}$ d'ordre n, et ${\displaystyle U}$ d'ordre p produit un tenseur d'ordre n+p. Les n premiers indices sont repris de T, et les p indices suivants sont repris à partir de U. Leur valence est la même que l'indice dont ils proviennent. Chaque composante du résultat est le produit :

• de la composante de T associée aux n premiers indices de la composante du résultat
• de la composante de U associée aux p derniers indices de la composante du résultat.

Ainsi, le produit tensoriel du tenseur ${\displaystyle {T^{i}}_{j}}$ par le tenseur ${\displaystyle U_{kl}}$ est le tenseur d'ordre 4 ${\displaystyle {T^{i}}_{j}U_{kl}}$.

Exemples :

• Si on représente deux formes linéaires f et g par deux tenseurs (donc tenseurs d'ordre 1 et covariants), alors le produit tensoriel des deux tenseurs représente une forme bilinéaire, linéaire par rapport à chacune des variables des formes linéaires de départ, définie par : ${\displaystyle (u,v)\to f(u)g(v)}$. La notion de produit tensoriel provient donc directement de la notion de produit de fonctions.
• Si on multiplie par le produit tensoriel, un vecteur u et une forme linéaire f, le résultat sera un tenseur d'ordre (1,1), à savoir l'endomorphisme définie par ${\displaystyle v\to f(v)u}$. Si les composantes de u dans une base sont les ${\displaystyle u^{i}}$ et les composantes de f dans la base duale sont les ${\displaystyle f_{j}}$, alors les composantes de la matrice de l'endomorphisme précédent sont les ${\displaystyle u^{i}f_{j}}$. Cette matrice étant de rang inférieur ou égal à 1, ceci met en évidence qu'il existe de nombreux tenseurs d'ordre élevé qui ne sont pas le résultat du produit tensoriel.

Soit A et B deux matrices carrées représentant dans une base donnée deux tenseurs de type (1,1), de terme général respectif ${\displaystyle A_{j}^{i}}$ et ${\displaystyle B_{j}^{i}}$. Le produit matriciel C = AB représente un tenseur (1,1) de terme général ${\displaystyle C_{j}^{i}=\sum _{k}A_{k}^{i}B_{j}^{k}}$. On a réalisé la contraction du produit tensoriel des deux tenseurs (qui a pour terme général ${\displaystyle A_{k}^{i}B_{j}^{k}}$) et qui est de type (2,2) en prenant un indice commun, covariant pour l'un, contravariant pour l'autre. De même, un tenseur peut avoir des composantes covariantes et contravariantes, et quand on fait le produit contracté de deux indices, on le fait toujours entre composantes covariantes et contravariantes, ce qui explique que certains indices soient notés en haut et d'autres en bas, par exemple T_a^bc.

Le contracté d'un tenseur sur deux indices i et j, l'un étant covariant et l'autre contravariant est un tenseur d'ordre n-2 où n est l'ordre du tenseur de départ. Les indices i et j ont disparu dans le tenseur résultat ; la valence des autres indices est inchangée.

${\displaystyle T^{a}={T^{ac}}_{c}}$

Ici on a fait la somme sur toutes les valeurs possibles des deuxièmes et troisièmes indices, quand ceux-ci sont égaux.

Dans l'exemple ci-dessus, du produit tensoriel entre un vecteur et une forme linéaire de terme général ${\displaystyle u^{i}f_{j}}$, la contraction du tenseur résultant nous donne le résultat de l'application de la forme linéaire au vecteur, à savoir ${\displaystyle \sum _{i}u^{i}f_{i}}$.

On voit ici que le produit tensoriel est un moyen de combiner deux objets tout en préservant l'ensemble de leurs propriétés et en différant certaines opérations (ie. les objets restent plus ou moins séparables, si ce n'est que le produit tensoriel d'objets qui étaient déjà combinés peut être décomposé de plusieurs façons). La contraction par contre, revient à appliquer des opérations qui avaient été laissées en suspens.

Le produit tensoriel contracté entre ${\displaystyle A}$ d'ordre n, et ${\displaystyle B}$ d'ordre p, est un tenseur d'ordre (n+p-2). Les n-1 premiers indices proviennent de A (leurs valences respectives sont les mêmes que les n-1 premiers indices de A), les p-1 derniers proviennent de B (leurs valences respectives sont les mêmes que les p-1 derniers indices de B). Le produit tensoriel contracté est un produit tensoriel suivi d'une contraction entre l'indice n et l'indice n+1 du tenseur d'ordre n+p.

Une généralisation de ce produit contracté est le double-produit contracté (dont le résultat est un tenseur d'ordre n+p-4), le triple-produit contracté (dont le résultat est un tenseur d'ordre n+p-6), etc. De manière générale, le p-produit contracté définit un produit scalaire pour l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre p. Le double-produit contracté est notamment très utilisé pour décrire la déformation élastique des matériaux.

On adopte souvent la convention de notation d'Einstein qui consiste à supprimer le signe de sommation et à le considérer comme implicite dès lors que l'indice est répété en haut et en bas dans une expression, par exemple

${\displaystyle \sum _{j}T_{i}^{j}u_{j}}$ et ${\displaystyle \sum _{j}T_{j}^{i}f^{\ j}}$

se notent respectivement

${\displaystyle T_{i}^{j}u_{j}}$ et ${\displaystyle T_{j}^{i}f^{\ j}}$

Avec cette convention, les expressions relatives au produit contracté de deux tenseurs, se noteront de façon simple. Ainsi, le produit des deux matrices de terme général ${\displaystyle A_{j}^{i}}$ et ${\displaystyle B_{j}^{i}}$ est la matrice de terme général ${\displaystyle A_{k}^{i}B_{j}^{k}}$.

Le produit scalaire entre les vecteurs définit les notions de norme et d'orthogonalité. Il n'est pas nécessaire mais ajoute des outils très intéressants au calcul tensoriel. Dans une base orthonormée, il a une forme canonique simple qui consiste à multiplier une par une les composantes correspondantes des deux vecteurs; comme on exprime alors les produits contractés entre composantes covariantes et contravariantes, on doit ajouter entre les deux vecteurs une application bilinéaire qui permet de convertir les composantes contravariantes en composantes covariantes (ou le contraire). On a, dans le cas d'une base orthonormée ${\displaystyle {\vec {1}}_{i}}$ :

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=x^{i}{\vec {1}}_{i}\cdot {\vec {1}}_{j}y^{j}=x^{i}\delta _{ij}y^{j}}$.

Dans la plupart des cas, cependant, la base n'est pas orthonormée, et peut se représenter comme une transformation P de la base canonique. On a donc :

${\displaystyle {\vec {x}}=x^{i}{\vec {1}}_{i}}$, et

${\displaystyle {\vec {x}}={x_{e}}^{j}{\vec {e}}_{j}}$ avec ${\displaystyle {\vec {e}}_{j}=P_{j}^{k}{\vec {1}}_{k}}$

Il en résulte que

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}={x_{e}}^{i}{\vec {e}}_{i}\cdot {y_{e}}^{j}{\vec {e}}_{j}={x_{e}}^{i}P_{i}^{k}{\vec {1}}_{k}\cdot {\vec {1}}_{l}P_{j}^{l}{y_{e}}^{j}={x_{e}}^{i}P_{i}^{k}\delta _{kl}P_{j}^{l}{y_{e}}^{j}={x_{e}}^{i}g_{ij}{y_{e}}^{j}}$ avec ${\displaystyle g_{ij}=P_{i}^{k}\delta _{kl}P_{j}^{l}}$

La nouvelle matrice ${\displaystyle g_{ij}}$ définit le produit scalaire dans la nouvelle base E, et s'appelle le tenseur métrique de l'espace avec la base E. Comme ${\displaystyle g_{ij}}$ est défini en multipliant ensemble le premier et le second indice de P, il est automatiquement symétrique.

Un indice haut peut être changé en un indice bas par multiplication avec le tenseur métrique, ${\displaystyle g_{ab}}$

${\displaystyle T_{ac}=g_{ab}T_{c}^{b}}$

(On utilise la convention d'Einstein, le signe somme sur l'indice b est sous-entendu)
Le résultat est un tenseur de même ordre mais de valence différente : un indice contravariant est devenu covariant dans le tenseur résultat.

Un indice bas peut être changé en indice haut par multiplication avec le tenseur métrique inverse ${\displaystyle g^{ab}}$ :

${\displaystyle {T^{a}}_{c}=g^{ab}T_{bc}}$

Le résultat est un tenseur du même ordre mais de valence différente : un indice covariant est devenu contravariant dans le tenseur résultat.

Le gradient d'un champ de tenseurs d'ordre n est la différentielle de ce champ. On obtient un champ de tenseurs d'ordre n+1. Les n premiers indices ont la même valence que le tenseur de départ. L'indice supplémentaire est covariant.

La divergence d'un tenseur d'ordre n est le produit tensoriel doublement contracté entre la différentielle de ce tenseur (autrement dit son gradient) et le tenseur métrique. On obtient alors un tenseur d'ordre n−1. L'indice manquant est contravariant.

Un tenseur est symétrique s'il est inchangé par des permutations des indices hauts ou une permutation des indices bas. Un tenseur d'ordre (0,2) ou bien (2,0) est symétrique si et seulement si ses composantes forment une matrice symétrique. Le fait pour un tenseur d'être symétrique ne dépend pas de la base choisie.

Un tenseur est antisymétrique si, par une permutation quelconque des indices, il subit un changement de signe qui est le signe de la permutation. Un tenseur d'ordres (0,2) ou (2,0) est antisymétrique si et seulement si ses composantes forment une matrice antisymétrique. Pour un tenseur antisymétrique, les composantes dans lesquelles un indice se répète au moins deux fois sont toutes nulles. Par exemple, dans un espace de dimension n, les n composantes ${\displaystyle T_{iij}}$ du tenseur ${\displaystyle T_{abc}}$ sont nulles. De ce fait, un tenseur de type (h, k) avec k>n ou h>n est nécessairement nul, parce que l'on ne peut avoir k (ou h) valeurs différentes dans {1, ..., n}. En outre (à une multiplication par un scalaire près), il existe un seul tenseur antisymétrique d'ordre (0,n) : le déterminant, ou tenseur de Levi-Civita.

Les tenseurs antisymétriques sont utilisés pour construire les formes différentielles.

• Claude Semay, Bernard Silvestre-Brac, Introduction au calcul tensoriel, Applications à la physique, Dunod, 2007, (ISBN 978-2-10-050552-4)

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