Espace dual

Soient (K, +, ×) un corps commutatif et E un K-espace vectoriel.

On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E vers K, c'est-à-dire toute application ϕ : E → K telle que

${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},\ \forall \lambda \in K,\ \phi (\lambda x+y)=\lambda \phi (x)+\phi (y).}$

L'ensemble L(E, K) des formes linéaires sur E est un K-espace vectoriel[1], appelé l'espace dual de E et noté E*.

Le crochet de dualité est la forme bilinéaire non dégénérée

${\displaystyle \langle ~,\rangle :E^{*}\times E\to K,\quad (\phi ,x)\mapsto \langle \phi ,x\rangle$ :=\phi (x).}

Un plongement d'un espace vectoriel dans un autre est une application linéaire injective.

• Si A est une partie de E, on définit l'orthogonal (ou annulateur) A° de A dans E* comme le sous-espace des formes qui s'annulent sur A (donc aussi sur le sous-espace Vect(A) engendré par A) :

${\displaystyle A^{\circ }=\{\phi \in E^{*}\mid \forall x\in A,\ \langle \phi ,x\rangle =0\}.}$ A° est naturellement isomorphe au dual de l'espace vectoriel quotient E/Vect(A).

• Si B est une partie de E*, on définit l'orthogonal B° de B dans E comme le sous-espace des vecteurs annulés par B :

${\displaystyle B^{\circ }=\{x\in E\mid \forall \phi \in B,\langle \phi ,x\rangle =0\}}$.Autrement dit : B° est l'intersection des noyaux des éléments de B.

Avec les notations ci-dessus, (A°)° est égal à Vect(A), tandis (B°)° contient Vect(B) ; il lui est égal dès que B est finie.

Dans le cas particulier d'un espace euclidien, de dimension finie, l'application φ définie dans le paragraphe « Exemple : cas d'un espace préhilbertien » ci-dessus est un isomorphisme de E sur E*. Modulo cet isomorphisme, on retrouve alors l'orthogonalité définie par le produit scalaire.

Une application importante de l'étude de l'espace dual est la représentation d'un sous-espace vectoriel comme intersection d'hyperplans.

Soient E un espace vectoriel et F un sous-espace. Pour toute base B de l'espace F° des formes qui s'annulent sur F, le sous-espace F = (F°)° = (Vect(B))° = B° est l'intersection des noyaux des éléments de B, c'est-à-dire que pour tout vecteur x de E, ${\displaystyle x\in F\Leftrightarrow (\forall \phi \in B,\phi (x)=0).}$ F est de codimension finie q si et seulement si B contient exactement q formes ϕ₁, … , ϕ_q, et l'on peut alors représenter F par q équations linéaires indépendantes : ${\displaystyle x\in F\Leftrightarrow \left(\phi _{1}(x)=0~{\text{et}}~\phi _{2}(x)=0~{\text{et}}~\ldots ~{\text{et}}~\phi _{q}(x)=0\right).}$

Réciproquement, soit B un ensemble fini de formes linéaires indépendantes. Alors, en notant F = B° l'intersection de leurs noyaux, B est une base de (B°)° = F°.

Ce théorème généralise les résultats élémentaires connus en dimension 2 ou 3 sur la représentation de droites ou de plans par des équations. En particulier, dans un espace vectoriel de dimension 3, l'intersection de deux plans indépendants est une droite.

Nota Bene : il ne faut pas confondre la notion de droite ou de plan dans un espace affine (qui correspond à l'intuition géométrique) et celle, utilisée ici, de droite vectorielle ou de plan vectoriel. On appelle droite vectorielle un sous-espace de dimension 1, et plan vectoriel un sous-espace de dimension 2.

Si E et F sont deux espaces vectoriels sur K et u ∈ L(E,F) une application linéaire, l'application transposée de u, notée ^tu, est l'application de F* dans E* donnée par

${\displaystyle \forall \eta \in F^{\ast },\forall x\in E,\langle {}^{t}u(\eta ),x\rangle =\langle \eta ,u(x)\rangle .}$

L'application ^tu est linéaire pour tout u, et l'application u ↦ ^tu est linéaire.

Si E, F et G sont trois espaces vectoriels, on a

${\displaystyle \forall u\in L(E,F),\forall v\in L(F,G),{}^{t}(v\circ u)={}^{t}u\circ {}^{t}v.}$

Dans le langage des catégories, cela signifie que l'opération qui associe à un espace vectoriel son dual est un foncteur contravariant.

On définit une application linéaire i de E dans (E*)* par la formule

${\displaystyle \forall \phi \in E^{\ast },\ \langle i(x),\phi \rangle =\langle \phi ,x\rangle .}$

Autrement dit, i(x) est la forme linéaire sur E* qui à toute forme linéaire ϕ sur E associe ϕ(x).

Contrairement aux plongements de E dans E*, l'application i est naturelle, car elle dépend de la seule donnée de E.

Elle est par ailleurs injective, c'est-à-dire que pour tout vecteur non nul x de E il existe une forme linéaire ϕ telle que ${\displaystyle \langle \phi ,x\rangle \not =0}$ (car x se complète en une base (e_i)_i∈I, et ⟨e_i*, e_i⟩ = 1).

Si E est de dimension finie, i est donc un isomorphisme (tandis que si E est de dimension infinie, il n'existe aucune surjection linéaire de E dans E**).

Dans le cas des espaces vectoriels topologiques, la situation est sensiblement différente (voir l'article Dual topologique).

Sur un corps non commutatif, il faut distinguer les espaces vectoriels à gauche, si l'action du groupe multiplicatif K* est une action à gauche, et les espaces vectoriels à droite si cette action est une action à droite.

Le dual d'un espace vectoriel à gauche est un espace vectoriel à droite et vice-versa.

Soient en effet E un espace vectoriel à gauche sur K, u ∈ L(E,K) et λ ∈ K. On définit u.λ par la formule

${\displaystyle (u\cdot \lambda )(x)=u(x)\lambda .}$

C'est bien une application linéaire car, pour tout vecteur x dans E et tous scalaires λ et μ dans K, on a

${\displaystyle (u\cdot \lambda )(\mu x)=u(\mu x)\lambda =(\mu u(x))\lambda =\mu \left(u(x)\lambda \right)=\mu \left((u\cdot \lambda )(x)\right).}$

Ce qui précède est encore valide si l'on remplace « corps » par « anneau » et « espace vectoriel » par « module ».

Il faut remarquer au passage que si K est un corps non commutatif et si E et F sont des K-espaces vectoriels de dimension au moins 2, L(E,F) n'est plus un espace vectoriel, mais seulement un groupe abélien. De même, si K est un anneau non commutatif et si E et F sont des K-modules non isomorphes à K, L(E,F) est seulement muni d'une structure de groupe abélien.

• Dual d'un module
• Dualité (géométrie projective)
• Covecteur 
• Dual d'un espace vectoriel topologique
• Paire duale

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