Matrice transposée

En mathématiques, la matrice transposée (ou la transposée) d'une matrice $A\in M_{m,n}(K)$ est la matrice $A^{\mathsf {T}}\in M_{n,m}(K)$ , également notée $A^{\operatorname {t} }$ , $^{\operatorname {t} }\!A$ ou $A'$ [1], obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$ .

La transposée A^T d'une matrice A s'obtient par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale de la matrice. La transposée de la transposée (A^T)^T est la matrice A d'origine.

Plus précisément, si on note $a_{i,j}$ pour $(i,j)\in \{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots ,n\}$ et $b_{i,j}$ pour $(i,j)\in \{1,\ldots ,n\}\times \{1,\ldots ,m\}$ les coefficients respectivement de $A$ et de $A^{\mathsf {T}}$ alors pour tout $(i,j)\in \{1,\ldots ,n\}\times \{1,\ldots ,m\}$ on a $b_{i,j}=a_{j,i}$ .

Par exemple, si

A={\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}}

alors

A^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}

.

Propriétés

On suppose ici que K est un anneau commutatif. On note $A$ et $B$ deux matrices quelconques de $M_{m,n}(K)$ et $\alpha \in K$ un scalaire.

L'application « transposition » est linéaire :
$(A+B)^{\mathsf {T}}=A^{\mathsf {T}}+B^{\mathsf {T}},\qquad (\alpha A)^{\mathsf {T}}=\alpha A^{\mathsf {T}}$ .
La transposée de $A^{\mathsf {T}}$ est $A$ . Par conséquent, l'application « transposition » $^{\mathsf {T}}:\mathrm {M} _{m,n}(K)\to \mathrm {M} _{n,m}(K)$ est bijective. C'est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels. En particulier — pour les matrices carrées — c'est une involution de $\mathrm {M} _{n}(K)$ ; c'est donc la symétrie par rapport au sous-espace des matrices symétriques, parallèlement à celui des matrices antisymétriques.
La transposée du produit de deux matrices est égale au produit des transposées de ces deux matrices, mais dans l'ordre inverse :
$(AB)^{\mathsf {T}}=B^{\mathsf {T}}\,A^{\mathsf {T}}$ .
Si une matrice carrée $A$ est inversible, alors sa transposée l'est aussi, et la transposée de l'inverse de $A$ est égale à l'inverse de sa transposée :
$\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}=\left(A^{\mathsf {T}}\right)^{-1}$ .
Une matrice carrée et sa transposée ont même diagonale principale (et par conséquent même trace). En particulier, toute matrice diagonale est symétrique, c'est-à-dire égale à sa transposée.
Plus généralement, deux matrices carrées transposées l'une de l'autre ont même polynôme caractéristique donc mêmes valeurs propres, comptées avec leurs multiplicités (en particulier, non seulement même trace mais aussi même déterminant), et même polynôme minimal. Mieux : sur un corps, elles sont semblables[2]. Cela peut se montrer en remarquant qu'elles ont les mêmes invariants de similitude, ou bien en utilisant la réduction de Jordan, et en remarquant que $SJS^{-1}=J^{\mathsf {T}}$ , où J est un bloc de Jordan et S une matrice de permutation antidiagonale (en).

Interprétation : dualité

Espaces euclidiens

Dans le cadre des espaces euclidiens, si A représente une application linéaire $f : E \to E'$ par rapport à deux bases orthonormales B et B', alors sa transposée A^T est la matrice, dans les bases B' et B, de son opérateur adjoint $f * : E' \to E$ , caractérisé par

\forall x\in E,\ \forall y\in E',\quad \langle x,f^{*}(y)\rangle _{E}=\langle f(x),y\rangle _{E\,'}.

Plus généralement, si A représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors sa transposée A^T est la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales (voir « Espace dual »).

Hypergraphes

Dans la théorie des hypergraphes, si l'on représente un hypergraphe par la matrice à coefficients dans {0,1} qui lui est associée, l'hypergraphe dual est défini par la transposée de cette matrice.

Cas d'un anneau de scalaires non commutatif

Si $K$ est un anneau non commutatif, on considère la transposée $A^{\mathsf {T}}$ d'une matrice $A$ de $M_{m,n}(K)$ plutôt comme un élément de $M_{n,m}(K^{op})$ , où $K^{op}$ est l'anneau opposé de $K$ , de manière à conserver la compatibilité avec la multiplication,

(AB)^{\mathsf {T}}=B^{\mathsf {T}}\cdot A^{\mathsf {T}}

.

Autrement dit, la transposition est un antimorphisme.

Complément

Vérifions qu'on peut identifier l'anneau

M_{1,1}(K)

avec l'anneau

K

, la transposition étant compatible avec cette identification : en identifiant l'ensemble

M_{1,1}(K)

avec l'ensemble

K

, les matrices

A,B\in M_{1,1}(K)

s'identifient à leurs éléments respectifs

a,b\in K

. L'application

a\mapsto A

de

K

dans

M_{1,1}(K)

est clairement un isomorphisme d'anneaux, d'où l'identification de l'anneau

M_{1,1}(K)

avec l'anneau

K

; en particulier,

AB

s'identifie à

ab

. Il reste à montrer que la transposition est compatible avec cette identification. En identifiant les matrices transposées

A^{\mathsf {T}},B^{\mathsf {T}}\in M_{1,1}(K)

à

a,b\in K

respectivement, on a dans

M_{1,1}(K)

, d'après ce qui précède,

(AB)^{\mathsf {T}}=B^{\mathsf {T}}\cdot A^{\mathsf {T}}=B\cdot A

où

B\cdot A

est le produit de

a

et

b

dans

K^{op}

, à savoir

b\cdot a=ab

. Par conséquent,

(AB)^{\mathsf {T}}=ab

, donc

(AB)^{\mathsf {T}}

s'identifie à

ab

, ce qui exprime la compatibilité attendue.

Notes et références

La norme ISO 80000-2:2009, article 2-15.7, recommande la notation $A^{\mathsf {T}}$ .
Matthieu Romagny, Une remarque sur la transposée d'une matrice, préparation 2008-2009 à l'agrégation de mathématiques, UPMC

Voir aussi

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[1] La norme ISO 80000-2:2009, article 2-15.7, recommande la notation $A^{\mathsf {T}}$ .

[2] Matthieu Romagny, Une remarque sur la transposée d'une matrice, préparation 2008-2009 à l'agrégation de mathématiques, UPMC