Application transposée

En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, l'application transposée d'une application linéaire u : E → F entre deux espaces vectoriels est l'application ^tu : F* → E* entre leurs duals définie par :

\forall \ell \in F^{*},\qquad ^{\operatorname {t} }\!u(\ell )=\ell \circ u

ou encore, si $\langle \;,\ \rangle$ est le crochet de dualité de E :

\forall x\in E,\forall \ell \in F^{*},\qquad \langle ^{\operatorname {t} }\!u(\ell ),x\rangle =\langle \ell ,u(x)\rangle .

La forme linéaire résultante $^{\operatorname {t} }\!u(\ell )\in E^{*}$ est nommée application transposée de $\ell$ le long de $u$ .

Cette définition se généralise à des K-modules à droite sur un anneau (non nécessairement commutatif), en se souvenant que le dual d'un K-module à droite est un K-module à gauche, ou encore[1] un module à droite sur l'anneau opposé K^op.

Propriétés

L'application ^tu ainsi associée à u est, comme elle, linéaire.
L'application qui à une application linéaire associe sa transposée est appelée la transposition. C'est elle-même une application linéaire[2], de L(E, F) dans L(F*, E*).
L'application de transposition est compatible avec la composition : si u est linéaire de E dans F et v linéaire de F dans G, $^{\operatorname {t} }\!(v\circ u)=^{\operatorname {t} }\!u\circ ^{\operatorname {t} }\!v.$ (Notamment si u est un isomorphisme, alors l'inverse de la transposée de u est égal à la transposée de l'inverse de u.)
Pour toutes parties A de E et B de F, on a [u(A)]^⊥ = (^tu)⁻¹(A^⊥), et u(A) ⊂ B ⇒ ^tu(B^⊥) ⊂ A^⊥.
Si E et F sont des espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps commutatif[3], de bases respectives B et C, alors la matrice de la transposée de u, dans les bases duales C* et B*, est la transposée de la matrice de u dans les bases B et C : $mat_{C^{*},B^{*}}(^{\operatorname {t} }\!u)=^{\operatorname {t} }\!(mat_{B,C}(u)).$ En effet, si B = (e₁, …, e_n) et C = (f₁, …, f_m), l'élément d'indices i,k de la matrice mat_C*,B*(^tu) est 〈^tu(f_k*), e_i〉 et l'élément d'indices k,i de la matrice mat_B,C(u) est 〈f_k*, u(e_i)〉.
Compte tenu du fait que la matrice d'une composée est le produit des matrices, on retrouve, à partir des deux points précédents, la formule[3] ^t(AB) = ^tB.^tA.

Application transposée en général

La notion de transposée intervient de façon beaucoup plus générale. Si l'on dispose d'une application $f$ entre deux ensembles :

$f:X\rightarrow Y$ .

On en déduit pour tout ensemble $Z$ une application $f^{*}$ :

$f^{*}:\mathrm {Hom} _{Ensemble}(Y,Z)\rightarrow \mathrm {Hom} _{Ensemble}(X,Z)$

définie par $f^{*}(g)=g\circ f$ où $\mathrm {Hom} _{Ensemble}(A,B)$ désigne l'ensemble $B^{A}$ des applications de $A$ dans $B$ .

Si $X$ , $Y$ et $Z$ sont des groupes, on peut utiliser exactement la même définition pour construire

$f^{*}:\mathrm {Hom} _{Groupe}(Y,Z)\rightarrow \mathrm {Hom} _{Groupe}(X,Z)$

où cette fois $\mathrm {Hom} _{Groupe}(A,B)$ désigne l'ensemble des morphismes de groupes de $A$ dans $B$ .

On pourrait de même définir la transposée d'un morphisme d'anneaux, d'espaces topologiques, d'espaces vectoriels topologiques, etc.

Cette construction entre donc dans le cadre général de la théorie des catégories.

Si ${\mathfrak {C}}$ est une catégorie $X$ , $Y$ sont des objets de ${\mathfrak {C}}$ et $f$ est un élément de $\mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(X,Y)$ . Alors pour tout objet $Z$ de ${\mathfrak {C}}$ , il existe une application $f^{*}$ appelée transposée de $f$ :

$f^{*}:\mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(Y,Z)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(X,Z)$ .

C'est l'image $\mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(f,Z)$ de $f$ par le foncteur Hom contravariant $\mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(\cdot ,Z)$ de ${\mathfrak {C}}$ dans la catégorie $\mathrm {Ens}$ des ensembles.

Notes

En posant (λμ)y* = y*.(μ.λ) où (μ, y*) ↦ μy* est l'action de K sur F*, (μ, y*) ↦ y*.μ est l'action de K^op sur F*, (λ, μ) ↦ λμ est le produit dans K, (λ, μ) ↦ μ.λ est le produit dans K^op, etc.
À prendre au sens « ℤ-linéaire », i.e. morphisme de groupes abéliens, si l'anneau n'est pas commutatif.
Ceci reste vrai pour des K-modules à droite libres de type fini sur un anneau K non nécessairement commutatif, la transposée d'une matrice à coefficients dans K étant alors une matrice à coefficients dans K^op.

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[1] En posant (λμ)y* = y*.(μ.λ) où (μ, y*) ↦ μy* est l'action de K sur F*, (μ, y*) ↦ y*.μ est l'action de K^op sur F*, (λ, μ) ↦ λμ est le produit dans K, (λ, μ) ↦ μ.λ est le produit dans K^op, etc.

[2] À prendre au sens « ℤ-linéaire », i.e. morphisme de groupes abéliens, si l'anneau n'est pas commutatif.

[NonCommutatif-3] Ceci reste vrai pour des K-modules à droite libres de type fini sur un anneau K non nécessairement commutatif, la transposée d'une matrice à coefficients dans K étant alors une matrice à coefficients dans K^op.