Tenseur de Ricci

Dans le cadre de la relativité générale[1], le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Cette déformation est exprimée à l'aide du tenseur de Ricci.

Le tenseur de Ricci est un champ tensoriel d'ordre 2, obtenu comme la trace du tenseur de courbure complet. On peut le considérer comme le laplacien du tenseur métrique riemannien dans le cas des variétés riemaniennes.

Le tenseur de Ricci occupe une place importante notamment dans l'équation d'Einstein, équation principale de la relativité générale. C'est aussi un objet fondamental en géométrie différentielle.

Histoire

L'éponyme du tenseur de Ricci[2]^,[3]^,[4]^,[5]^,[6] est le mathématicien italien Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925)[7] qui l'a introduit dans des articles qu'il a coécrits avec son étudiant Tullio Levi-Civita (1873-1941)[6]. Le tenseur apparaît, pour la première fois, dans un article de Ricci-Curbastro paru en 1903[8]^,[9].

Le tenseur est aussi connu comme le tenseur de courbure de Ricci[10]^,[11] car sa trace est la courbure (scalaire) de Ricci[6]^,[12].

Présentation

Définition, notation et expression

Le tenseur de Ricci est défini comme une contraction du tenseur de courbure de Riemann[6] :

R_{\mu \nu }=\sum _{\lambda }{R^{\lambda }}_{\mu \nu \lambda }={R^{\lambda }}_{\mu \nu \lambda }

.

Propriétés

Le tenseur de Ricci est un tenseur de rang 2[6].

Il est symétrique[6]^,[13]^,[5] :

R_{\mu \nu }=R_{\nu \mu }

.

Application en relativité générale

En relativité générale, le vide est une région de l'espace-temps où le tenseur énergie-impulsion s'annule[14] :

T_{\mu \nu }=0

.

Dans le vide[14] et en l'absence de constante cosmologique[15], l'équation d'Einstein devient :

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=0

,

soit[16]^,[15] :

R_{\mu \nu }=0

.

Un espace dont le tenseur de Ricci s'annule est parfois dit Ricci-plat[17].

Construction mathématique

Le tenseur de Ricci s'obtient à partir du tenseur de courbure de Riemann $R$ , qui exprime la courbure de la variété (dans le cas de la relativité générale, de l'espace-temps), à l'aide d'une réduction d'indices du tenseur.

Il peut s'exprimer notamment à partir des symboles de Christoffel, qui représentent l'évolution des vecteurs de base d'un point à l'autre de l'espace-temps, due à la courbure de ce dernier. Ces coefficients dépendent alors directement de la métrique de l'espace (de la variété), qui est un outil mathématique permettant de définir les distances au sein de l'espace.

D'un point de vue mathématique, on parvient aux résultats suivant, en utilisant la convention de sommation d'Einstein[18].

Les symboles de Christoffel s'expriment par :

{\Gamma ^{\gamma }}_{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}g^{\gamma \delta }(\partial _{\alpha }g_{\beta \delta }+\partial _{\beta }g_{\alpha \delta }-\partial _{\delta }g_{\alpha \beta })

Ces coefficients sont notamment utilisés pour écrire l'équation d'une géodésique, c'est-à-dire le chemin le plus court entre deux points de l'espace courbe – qui n'est pas toujours une ligne droite :

{\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{\alpha }}{\mathrm {d} s^{2}}}+{\Gamma ^{\alpha }}_{\beta \gamma }{\frac {\mathrm {d} x^{\beta }}{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} x^{\gamma }}{\mathrm {d} s}}=0

Le tenseur de courbure s'exprime à partir de ces mêmes coefficients de Christoffel:

{R^{\delta }}_{\alpha \beta \gamma }=\partial _{\beta }{\Gamma ^{\delta }}_{\alpha \gamma }-\partial _{\gamma }{\Gamma ^{\delta }}_{\alpha \beta }+{\Gamma ^{\delta }}_{\beta \varepsilon }{\Gamma ^{\varepsilon }}_{\alpha \gamma }-{\Gamma ^{\delta }}_{\gamma \varepsilon }{\Gamma ^{\varepsilon }}_{\alpha \beta }

Nous obtenons enfin le tenseur de Ricci par réduction (attention à l'ordre des indices) :

R_{\alpha \beta }={R^{\gamma }}_{\alpha \gamma \beta }

Par la suite, la courbure scalaire se déduit à l'aide d'une nouvelle réduction :

R=g^{\alpha \beta }R_{\alpha \beta }

La divergence du tenseur d'Einstein $R^{\alpha \beta }-{\tfrac {1}{2}}g^{\alpha \beta }R$ est nulle :

\left[R^{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }R\right]_{\alpha \beta }=0

Cette équation fondamentale se démontre en mettant en jeu la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique.

C'est en identifiant le tenseur d'Einstein et le tenseur d'énergie-impulsion que l'on obtient l'équation d'Einstein qui fonde la relativité générale.

Tenseurs d'une surface en coordonnées de Riemann

Tenseur de Riemann

Gauss a trouvé une formule de la courbure K d'une surface par un calcul assez compliqué mais plus simple en coordonnées de Riemann où elle est égale au tenseur de Riemann $R_{xyxy}$ qui s'écrit alors, en deux dimensions[19].

R_{xyxy}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}g_{xx}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}g_{yy}}{\partial x^{2}}}\right)

où $g_{xx}$ et $g_{yy}$ sont les coefficients de la métrique en coordonnées de Riemann, c'est-à-dire des coordonnées cartésiennes locales. Pour prendre un exemple, on ne peut utiliser le même système de coordonnées en Australie et en France sinon les Australiens auraient la tête en bas (pour nous)! Le tenseur de Ricci est formé, en fonction de la métrique inverse $g^{ij}$ indices supérieurs) et du tenseur de Riemann dit « entièrement covariant », (indices inférieurs), $R_{ijkl}$ , par la relation générale

Tenseur de Ricci

R_{ik}=g^{mn}R_{mink}=\Sigma g^{mn}R_{mink}

g^{xx}=1/g_{xx}

et

g^{yy}=1/g_{yy}

sont les éléments de la métrique inverse de la métrique directe, également diagonale. La convention d’Einstein consiste à supprimer le signe Σ, avec quelques restrictions. En deux dimensions ces relations s’explicitent en :

\left.R_{xx}=g^{xx}R_{xxxx}+g^{yy}R_{xyxy}\right.

\left.R_{yy}=g^{xx}R_{xyxy}+g^{yy}R_{yyyy}\right.

L'identité de Bianchi du tenseur de Riemann s'écrit :

R_{abcd}=-R_{bacd}=-R_{abdc}

Elle devient, lorsque a = b = c = d = x (ou y) :

R_{xxxx}=-R_{xxxx}=-R_{yyyy}=0

On a donc

R_{xxxx}=R_{yyyy}=0

En deux dimensions, il reste

R_{xx}=g^{yy}R_{xyxy}={\frac {1}{g_{yy}}}R_{xyxy}

R_{yy}=g^{xx}R_{xyxy}={\frac {1}{g_{xx}}}R_{xyxy}

Le tenseur de Ricci d’une surface de métrique diagonale a donc deux composantes différentes bien que celui de Riemann n’en ait qu’une seule, non nulle et au signe près.

Notes et références

(fr) « La théorie de la Relativité », sur www.astrosurf.com (consulté le 14 septembre 2010) .
Barrau et Grain 2016, chap. 5, § 5.3, p. 84.
Heyvaerts 2012, chap. 8, sect. 8.7, § 8.7.3, p. 173.
Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009, chap. 7, § 7.11, p. 159-160.
Penrose 2007, chap. 19, § 19.6, p. 446.
Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.tenseur de Ricci, p. 722, col. 2.
Auffray 1999, p. 227.
Fré 2018, chap. 7, sect. 7.3, § 7.3.4, p. 180.
Fré 2018, réf., p. 318, s.v.151.
Luminet 2000, p. 41, col. 1.
Luminet 2011, p. 157.
Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.courbure de Ricci, p. 173, col. 2.
Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009, chap. 7, § 7.1, p. 159.
Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009, chap. 8, § 8.5, p. 181.
Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.Einstein (équations d'), p. 250, col. 1.
Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009, chap. 8, § 8.5, p. 181 (8.16).
Penrose 2007, chap. 19, § 19.6, p. 448.
Cette convention stipule que les indices répétés seront des indices de sommation : $\textstyle x_{\mu }x^{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}x_{\mu }x^{\mu }$ .
En toute rigueur on devrait utiliser ici u et v au lieu de x et y car il s'agit de coordonnées de Gauss (voir Tenseur de Riemann).

Voir aussi

Bibliographie

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[Barrau et Grain 2016] A. Barrau et J. Grain, Relativité générale : cours et exercices corrigés, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. / Physique », août 2016, 2^e éd. (1^re éd. août 2011), 1 vol., VIII-231 p., 24 cm (ISBN 978-2-10-074737-5, EAN 9782100747375, OCLC 958388884, notice BnF n^o FRBNF45101424, SUDOC 195038134, présentation en ligne, lire en ligne).
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Dictionnaires et encyclopédies

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[Taillet, Villain et Febvre 2018] R. Taillet, L. Villain et P. Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup., hors coll., janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956 p., ill. et fig., 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.tenseur de Ricci, p. 722, col. 2.

Articles connexes

Liens externes

Riemannian geometry

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[1] (fr) « La théorie de la Relativité », sur www.astrosurf.com (consulté le 14 septembre 2010) .

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[Luminet200041,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>-10] Luminet 2000, p. 41, col. 1.

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[HobsonEfstathiouLasenby2009181_(8.16)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;8</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;8.5</span>-16] Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009, chap. 8, § 8.5, p. 181 (8.16).

[Penrose2007448<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;19</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;19.6</span>-17] Penrose 2007, chap. 19, § 19.6, p. 448.

[18] Cette convention stipule que les indices répétés seront des indices de sommation : $\textstyle x_{\mu }x^{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}x_{\mu }x^{\mu }$ .

[19] En toute rigueur on devrait utiliser ici u et v au lieu de x et y car il s'agit de coordonnées de Gauss (voir Tenseur de Riemann).